Extremwertaufgabe Kirchenfenster: In welchem Verhältnis müssen dann Breite und Höhe des Fensters zueinander haben?

Question

Ein Kirchenfenster, bestehend aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis soll eine bestimmte Menge Licht durchlassen (also bestimmten Flächeninhalt haben) und mit wenig Holz gebaut werden (also möglichst kleinen Umfang  haben) . In welchem Verhältnis müssen dann Breite und Höhe des Fensters  zueinander haben?

Comments

Zur Ergänzung:

Die breite des Rechtecks ist 2*x und die Höhe y. Demnach ist der Radius des Halbkreises x.

Answer 1

Minimaler Umfang bei gegebenem Flächeninhalt

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h
h = A/(2·r) - pi·r/4

U = 2·h + pi·r + 2·r
U = 2·(A/(2·r) - pi·r/4) + pi·r + 2·r
U = A/r + pi/2·r + 2·r
U' = - A/r^2 + pi/2 + 2 = 0
r = √(2·a/(pi + 4))

h = A/(2·√(2·a/(pi + 4))) - pi·√(2·a/(pi + 4))/4
h = √(2·a/(pi + 4))

Damit haben r und h die gleiche Länge.