Integral über unbeschränktem Intervall / Uneigentliches Integral

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{z\to\infty} \) \( \frac{1}{(1 - α)} \) * (z^(1-α) - 1)

= \( \frac{1}{ α - 1} \) , da \( \lim\limits_{z\to\infty} \) 1 / z^(α-1) = 0

für α > 1.

Problem/Ansatz:

Der finale Schritt zu 1 / (α - 1) samt der Begründung leuchtet mir gerade leider absolut nicht ein.

Das 1 / z(α-1) = 0 für z gegen Unendlich gilt verstehe ich, aber warum kann das hier als Begründung herangezogen werden? Und woher stamm die Umkehr bezogen auf 1 - α bzw. α - 1?

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

\(z^{1-\alpha} = z^{-(\alpha-1)} = \frac{1}{z^{\alpha-1}}\)

Die erste Umformung ergibt sich aus Rechenregeln für negative Zahlen.

Die zweite Umformung ergibt sich aus Rechenregeln für Potenzen.

Comments

Hallo oswald, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe!

D.h.

\( \frac{1}{1-α} \) * z^1-α + \( \frac{1}{-(1-α)} \)

= \( \frac{1}{1-α} \) * z^1-α + \( \frac{1}{α-1)} \)

richtig?

Hinzu kommt die Umformung aus Deiner Antwort, die ich für sich auch nachvollziehen kann. Einzig ist mir noch nicht klar, warum/wie man auf die Idee kommt, z^1-α noch zu \( \frac{1}{z^α-1} \) umzuwandeln.

Kann mich diesbezüglich auch noch jemand erhellen?

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D.h.\( \frac{1}{1-α} \) * z1-α + \( \frac{1}{-(1-α)} \)= \( \frac{1}{1-α} \) * z1-α + \( \frac{1}{α-1} \)richtig?

Das ist richtig.

wie man auf die Idee kommt, z^1-α noch zu 1/z^α-1 umzuwandeln.

Wegen \(\alpha > 1\) ist \(1 - \alpha < 0\). Deshalb wendet man die Definition von Potenzen mit negativem Exponenten an.