Wie bestimmt man den Median der Mietausgaben?

Question

Aufgabe:

300 Studierende werden zum Anteil der Mietausgaben an ihrem Einkommen befragt:

[0; 10[ -> 78

[10; 20[ -> 42

[20; 40[ -> 87

[40; 50[ -> 54

[50;75[ -> 39

Anteil am Einkommen (%) -> befragte Personen

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich den Median der relativen Mietausgaben?

Answer 1

150 - 78 - 42 = 30

Wir brauchen also das 30. Element in der 3. Gruppe

20 + (40 - 20)·30/87 = 26.89655172

Also gerundet 26.90.

Comments

Vielen Danke für die Antwort!

Warum 150? Ist nicht die 150,5te Person genau in der Mitte?

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150 Personen sind vor der Mitte und 150 Personen sind nach der. Ich rechne den Wert nach der 150 Person aus.

Answer 2

Es sind 120 Personen, die weniger als 20% bezahlen.

Dann kommen 87 im Bereich von 20 bis 40.

In dem Bereich ist also der Median, dann ist es 30%.

Comments

Laut Lösung (ohne Lösungsweg) ist der Median 26,90.

Answer 3

Hallo :-)

,,Den" Median kann man hier nicht angeben, da du nur Bereiche der Ausgabenanteile gegeben hast. Du kannst hier also nur eine grobe Schätzung für den Median angeben, weil die genaue Verteilung in den Intervallen nicht bekannt ist. Gerne wird angenommen, dass in den Intervallen eine Gleichverteilung vorliegt (was aber nicht stimmen muss...). Nimmst du nun aber die Gleichverteilung an, so kannst du linear interpolieren:

120 Personen haben unter 20% Ausgabenanteil. Da du eine gerade Personenanzahl hast, nimmst du die 150-te und 151-te Person, also 30.5 Personen. Mit der linearen Interpolation ergibt das eine Schätzung von

\(x_{med}\approx 20+(40-20)\cdot \frac{30.5}{87}\approx 27.0\).

Da wegen unbekannter Verteilungsart, jeder Wert im Intervall [20,40[ in Frage käme, weicht also im schlimmsten Falle die Schätzung um \(\frac{40-27}{40}\cdot 100=0.325\), also \(32.5\)% vom Originalwert ab.