Wie sind die Rechenschritte von dieser Aufgabe?

Question

Aufgabe:

1.) Erkläre, wie viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bei der Polynomfunktion f maximal auftreten können

2.) führe die Kurvenuntersuchung durch

f(x) = x^5 - 4x

Problem/Ansatz:

Wie sind die Rechenschritte von dieser Aufgabe? Muss ich es zuerst ableiten? Und wie bekomme ich die Nullstellen, Extrempunkte + Wendepunkte heraus ?

Wir bei Nummer 2 gemeint, dass ich es zeichnen soll? Also die Kurve

Danke im Voraus für hilfreiche Antworten!

Answer 1

1.) Erkläre, wie viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bei der Polynomfunktion f maximal auftreten können

Ein Polynom n. Grades hat maximal n Nullstellen, n - 1 Extremstellen und n - 2 Wendestellen.

Ein Polynom 5. Grades hat maximal 5 Nullstellen, 4 Extremstellen und 3 Wendestellen.

2.) führe die Kurvenuntersuchung durch

Ich begnüge mich mal damit, nur die Stellen, also die x-Koordinaten zu bestimmen. Y-Koordinaten erhält man immer, indem man die x-Koordinaten in die Funktion einsetzt. Die Art der Extrempunkte und der Wendepunkte kann man über die nächste Ableitung oder mit dem Vorzeichenwechselkriterium bestimmen. Ich bevorzuge im Gegensatz zu den meisten Lehrern zweiteres.

Nullstellen

f(x) = x^5 - 4x = x(x^4 - 4) = 0 → x = 0 oder x = ± 2

Extremstellen

f'(x) = 5x^4 - 4 = 0 → x = ± ⁴√(4/5) = ± 0.9457

Wendestellen

f''(x) = 20x^3 = 0 → x = 0

Comments

Danke für die hilfreiche Antwort!

Ich verstehe aber nicht wieso Sie bei den Extremstellen die Wurzel aus 4/5 rechnen?

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Wie würdest du die Gleichung

5x^4 - 4 = 0

nach x auflösen? Willst du es mal probieren? Photomath hilft evtl. beim Lösen von Gleichungen, wenn du es hast.

Answer 2

Hallo,

https://www.desmos.com/calculator/1hcssg9nfa

Nullstellen bei x=0 und x=±√2

Tipp auf die Kurve, dann kannst du die Koordinaten ablesen.

:-)