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Aufgabe:

Ich möchte wissen, warum Pythagoreische Zahlentripel mit zwei quadratischen Katheten unmöglich sind


Problem/Ansatz:

Die Bestimmungsgleichungen für die "Katheten" von primitiven Pythagoreischen Tripeln sind:

\( a=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b=2\cdot{m}\cdot{m} \)

Angenommen, ich wähle m und n so, dass \( a=u^{2} \phantom{5}  bzw. \phantom{5} b=v^{2} \) ganze Quadratzahlen sind.

O.B.d.A. soll m ungerade und n gerade sein, also \( m=(2p+1) ,\phantom{5} n=2q \)

\( ( a,b,u,v,m,n,p,q \in \mathbb{N} )\)

Setzt man die Terme in die obigen Gleichungen ein, ergibt sich:

\( a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} ,\phantom{15} b=2\cdot{(2p+1)} \cdot{(2q)} \)

Daraus folgt:

Für \( \phantom{5} b=4\cdot{(2p+1)} \cdot{q} \phantom{5} \) entsteht bei geeigneter Wahl von p,q eine gerade Quadratzahl.

Für a lässt sich mit Hilfe der 3.Binomischen Formel die folgende Gleichung bilden:

\( a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} = ( 2p+1+2q) \cdot{( 2p+1-2q)} \)

\( \phantom{5}= ( 2(p+q)+1) \cdot{( 2(p-q)+1)}  \)

\( \phantom{5}= 4(p+q)(p-q) + 2(p+q)+2(p-q)+1  \)

\( a=4(p+q)(p-q) + 4p + 1  \)

Unter der Voraussetzung, dass b mit geeignetem p,q > 0 eine Quadratzahl ist, erhält man für a mit den gleichen Werten von p,q als Ergebnis eine ungerade Zahl, aber keine Quadratzahl. Also kann a keine ganze Quadratzahl sein.

Eine ungerade Quadratzahl hätte allgemein die Form \( (2k+1)^{2}=4k^{2} + 4k + 1 \)

was aber hier nicht zutrifft: \( (p+q)(p-q) \neq p^{2} \phantom{5} für \phantom{5} q > 0 \)

Frage: Ist somit gezeigt, dass in einem ppT die "Katheten" a und b nicht gleichzeitig Quadratzahlen sein können oder fehlt noch irgendwas in dem "Beweis" ??

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1 Antwort

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Der Beweis ist ok, allerdings halte ich ihn für viel zu kompliziert.

lul

Avatar von 108 k 🚀

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