Question

Warum ist das Integral die Fläche?

Answer 1

Um zu verdeutlichen warum das Integral von f(x) die Fläche unter einem Graphen beschreibt hab ich mich mal an dieser Skizze versucht..

Also,  die grün schraffierte Fläche ist folgendermaßen definiert

f(a)dx

Für die blau schraffierte Fläche (die exakte Fläche unter dem Graphen) brauchen wir eine Funktion die wir noch nicht kennen.. nennen wir sie A.

Dann ist die blau schraffierte Fläche

A(b)-A(a)

Und die rote Fläche ist so definiert

f(a+dx)dx

Jetzt stellen wir eine Ungleichung auf.. Aus der Zeichnung ist klar..

f(a+dx)dx > A(b)-A(a) > f(a)dx

da dx nichts anderes ist als b-a, können wir die Ungleichung auch so schreiben

f(a+b-a)(b-a) = f(b)(b-a) > A(b)-A(a) > f(a)(b-a)    |:(b-a)

f(b) > (A(b)-A(a))/(b-a) > f(a)

Wenn wir davon aber nun den Grenzwert bilden für b↦a haben wir ja nichts anderes dastehen als

f(a) > A'(a) > f(a)

Mit dem Einschließungssatz sehen wir, dass unsere gesuchte Flächenfunktion A abgeleitet unsere Funktion f sein muss.. daraus folgt, die Flächenfunktion muss f "aufgeleitet" also eine Stammfunktion von f sein..

Grüße

Comments

capisci !!!!!!!!!! ;)


OBRIGADO ^^

Answer 2

das Integral ist die Fläche, weil man wissen wollte, wie die Fläche ist. Daraufhin entwarf man das Integral.

MfG

Mister

PS: In https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral sind die ersten sechs Zeilen auch für Laien noch einigermaßen verständlich formuliert.

Comments

A ist A weil es A ist..... ok

Ich meine damit: Warum beschriebt eine "aufgelittene Funktion" die Fläche?

Ich weiß, dass wenn man die Stammfunktion ableitet, unsere original Funktion die Steigung der Stammfunktion beschreibt. Schön und gut aber eine Stammfunktion kann irgendeine sein, es gibt unendlich viele. Alle Stammfunktionen beschreiben die Fläche? mmm ist schwer zu glauben.

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Eine Stammfunktion beschreibt keine Fläche. Wie sollte das auch gehen, da es keine eindeutige Stammfunktion gibt. (Wie kommst du eigentlich zu dieser Vorstellung?) Das Konzept der Stammfunktion ist eine Rechenhilfe zur Berechnung von Integralen/Flächen dank dem Hauptsatz der Integralrechnung.

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Es gibt stets auch eine Stammfunktion F(x), die die Fläche unter f von 0 bis x beschreibt.

Für diese muss gelten F(0) = 0. Aus dieser Bedingung folgt das spezielle c, das F(x) aus der Menge aller möglichen Stammfunktionen auswählt.

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Was heißt denn ohne "c"? Etwa F(0)=0?(Dann würd's sogar stimmen) . Und ist f negativ auf [0,x], x>0, so beschreibt F(x) nicht die Fläche von "0 bis x" die F(x) negativ ist, Flächen aber positiv sind.

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Es gibt auch Flächen mit negativem Flächeninhalt.

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Es gibt integrale mit negativem Wert. Integrale sind keine Flächen. Zeig mir doch eine Fläche mit negativem Flächeninhalt.

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Jetzt geh' nochmal in dich und überleg', was du eigentlich wissen willst.

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Du weichst der Aufgabe aus, wirklich tief in dich zu gehen und dir klar zu machen und auch zu akzeptieren, dass es negative Flächeninhalte gibt.

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Also ich fasse mal zusammen: Es gibt negative Flächeninhalte.

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Dann gib doch mal ein Beispiel dafür an.

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Einem abgeschlossenen System \( A \) wird über eine Zeit \( T \) Energie mit einer zeitunabhängigen Leistung von \( P \) abgezogen und dem System \( B \) zugeführt. Die Energieänderung von \( A \) beträgt

\( \Delta E = - \int_{t=0}^{t = T} P dt = - T \cdot P \).

Im Phasenraum Leistung-Zeit entspricht diese einer Fläche mit negativem Flächeninhalt. Der Inhalt dieser Phasenraumfläche kann nicht als positiv gedeutet werden. Denn er ist negativ.

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Danke dass du dich entschlossen hast nach meiner zweiten Aufforderung jetzt doch ein Beispiel zu nennen. Ich stehe auf dem Standpunkt, dass die Fläche einer 2-dimensionalen Figur durch ihr Lebesque-maß bzw. Jordan-Inhalt gegeben sind: https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Ma%C3%9F Diese sind nicht-negativ. "Im Phasenraum Energie-Zeit entspricht diese einer Fläche mit negativem Flächeninhalt" Hast du dafür eine Quelle außer deiner eigenen Aussage?

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@Mister: Dein Beispiel beschreibt aber doch wieder keine Fläche, sondern ein Integral?

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Der geübte Blick erkennt sofort: Es lässt sich auch als Rechteck im Leistungs-Zeit-Raum ansehen. Daher muss es nicht als Integral angesehen werden.

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Kannst du die Antwort auch für Leute mit nicht geübten Blick geben? Bzw. ein mathematisch leichter nachvollziehbares Beispiel für die man keine Physik-kenntnisse braucht?

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Das Beispiel dient ja dafür, zu veranschaulichen, dass die Anwendung von der Vorstellung negativer Flächeninhalte profitiert.

Sie erlaubt neue Einsichten in die Geometrie, ähnlich wie die Vorstellung negativer Winkel sowie Vielecke mit einer negativen Anzahl an Seiten (!). Diese Einsichten kann man gewinnen, wenn man klassische geometrische Sätze auf unübliche Zahlenbereiche fortsetzt. Es resultieren durchaus überraschende Ergebnisse, die im Rahmen der richtigen Deutung ihre Gültigkeit behalten.

Der maßtheoretische "Inhalt" ist definitiv zu elementar (meiner Meinung nach), um darüber in Diskussionen auszuschweifen. Die Diskussion erübrigt sich auch deswegen, da es sich um eine philosophische Frage handelt.

Answer 3

A ist A weil es A ist..... ok

Du musst die vielleicht etwas merkwürdig klingende, aber dennoch völlig korrekte Antwort von Mister richtig verstehen. Es ist nicht so, dass die Integralrechnung eine natürliche Grundrechenart ist, mit der man zufällig die Fläche unter der entsprechenden Funktion ausrechnen kann, sondern die Integralrechnung wurde so aufgebaut, dass man mit ihr diese Fläche beschreiben kann.

Alle Stammfunktionen beschreiben die Fläche? mmm ist schwer zu glauben.

Die unendlich vielen unbestimmten Integrale ("Stammfunktionen") einer Funktion f unterscheiden sich ausschließlich durch eine additive Konstante. Und die fällt beim Berechnen eines bestimmten Integrals von a nach b, also bei der Bestimmung des Wertes des Ausdrucks F ( b ) - F ( a ) wieder heraus, egal welche der unendlich vielen Stammfunktionen von f man dazu verwendet.

Comments

aaahh so almählig verstehe ich ... und was hat es sich mit diesen "Treppen" auf sich?

Meine Idee dazu ist nur dass man die Fläche von Vierecken ausrechnet un die Basis diese Vierecke gegen null laufen läst oder so... richtig?