Körper und Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei K ein endlicher Körper der Charakteristik p (p ist eine Primzahl). Zeigen Sie:

(a) K ist ein Vektorraum über dem Körper F_p

(b) Die Ordnung von K ist eine Potenz von p.

(Hinweise: K ist nach (a) ein Fp-Vektorraum. Weil K endlich ist, hat K auch ein endliches Erzeugendensystem und eine endliche Basis.)

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz diese Aufgabe zu lösen. Kann mir jemand helfen??

Answer 1

Für a) prüfe die Vektorraumaxiome.

Vieles ergibt sich unmittelbar aus den Körperaxiomen für K.

b) Nach dem Tipp hat K endliche Dimension, etwa n.

Damit ist der Vektorraum K isomorph zu F_pⁿ, hat also

Ordnung pⁿ .