Zeigen Sie, dass (R,+) über (R,+,.) ein endlichdimensionaler Vektorraum [...] ist.

Question

(c) Zeigen Sie, dass \( (\mathbb{R},+) \) über \( (\mathbb{R},+, .) \) ein endlichdimensionaler Vektorraum aber über \( (\mathbb{Q},+, .) \) ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist.

Answer 1

\( (\mathbb{R},+) \) ist über \( (\mathbb{R},+, \cdot) \) ein endlichdimensionaler Vektorraum, weil \(\{1\}\) ein endliches Erzeugendensystem ist.

\( (\mathbb{R},+) \) ist über \( (\mathbb{Q},+, \cdot) \) ein unendlichdimensionaler Vektorraum, weil mit abzählbar vielen Elementen im Körper und abzählbar vielen Elementen in der Basis nur abzählbar viele Vektoren erzeugt werden können.