What is the chance that both students are from Year 12?

Question

Aufgabe:

Two students are to be randomly selected from a high school of \( N \) students, \( n \) of whom are from Year 12 . If it is known that at least one student is from Year 12, what is the chance that both students are from Year 12 ?

(A) \( \frac{n-1}{2 N-n-1} \) (B) \( \frac{n-1}{2 N+n+1} \) (C) \( \frac{n-1}{2 N+n-1} \) (D) \( \frac{n-1}{2 N-n+1} \)

Problem/Ansatz:

… Welche Formel ist die Richtige?

Answer 1

Antwort A

Könntest du mal folgende Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von n und N bestimmen.

P(beide kommen aus Jahrgangsstufe 12) = ...

P(mind. einer kommt aus Jahrgangsstufe 12) = 1 - P(keiner kommt aus Jahrgangsstufe 12) = ...

Comments

Könntest du mal folgende Wahrscheinlichkeiten [...] bestimmen

Welche Kombinatorik Formeln muss ich dazu anwenden?

P(keiner kommt aus Jahrgangsstufe 12)

In der englischen Aufgabenstellung steht aber: "If it is known that at least one student is from Year 12", also hier ist tatsächlich schon mindestens einer in der zwölften Jahrgangsstufe.

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Welche Kombinatorik Formeln muss ich dazu anwenden?

Keine. Verwende einfach die Pfadregel. Du hast doch nur zwei Stufen, also werden nur zwei Brüche miteinander multipliziert.

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Du hast doch nur zwei Stufen

Ich glaub da herrscht deinerseits etwas Unkenntnis über das amerikanische Schulsystem:

Ich zähle vier Jahrgangsstufen. (9 - 10 - 11 - 12)

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Du hast doch nur zwei Stufen

Zwei Stufen im Baumdiagramm, wenn man zwei Schüler zieht :(

Keine. Verwende einfach die Pfadregel. Du hast doch nur zwei Stufen, also werden nur zwei Brüche miteinander multipliziert.

In der englischen Aufgabenstellung steht aber: "If it is known that at least one student is from Year 12", also hier ist tatsächlich schon mindestens einer in der zwölften Jahrgangsstufe.

Das ist völlig richtig also ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Kennst du die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit. Manchmal auch unter dem Satz von Bayes bekannt.

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man zwei Schüler zieht

Schüler sind keine Objekte aber ok. Sehe jetzt wie du das meinst.

Es werden nur zwei Brüche miteinander multipliziert.

Der eine ist in der der Zwölften, der zweite nicht und dann noch mit zwei multiplizieren, weil es ja auch andersrum sein kann.
$$\frac{n-1}{N}\cdot\frac{n}{N}\cdot2$$
Warum steht in der Formel (A) die doppelte Menge der Schüler der Schule im Nenner? Damit man mehr Schüler ziehen kann?

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In dem Term sind tatsächlich viele Fehler drin.

* Der erste Schüler wird aus N Schülern gezogen der Zweite nur noch aus N-1 Schülern.

* Du hast n Schüler in der Jahrgangsstufe 12 und N - n die nicht in der Jahrgangsstufe 12 sind.

* Es geht nicht darum, dass genau 1 Schüler aus der Jahrgangsstufe 12 ist.

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Es geht nicht darum, dass genau 1 Schüler aus der Jahrgangsstufe 12 ist.

Gestern meintest du noch ich solle das nehmen, was da steht.

Du musst lernen, das zu nehmen, was dort steht.

Wenn ich sage,..

Du hast doch geschrieben ich soll unter anderem die Wahrscheinlichkeit ausrechen für:

P(mind. einer kommt aus Jahrgangsstufe 12)
P(beide kommen aus Jahrgangsstufe 12)
P((keiner kommt aus Jahrgangsstufe 12) oder nicht?

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Gestern meintest du noch ich solle das nehmen, was da steht.

Wo steht etwas von genau 1 Student?

mindestens einer ist nicht das gleiche wie genau einer oder hast du das jetzt gedacht?

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mindestens einer ist nicht das gleiche wie genau einer

Das ist ja das, was ich DIR versuche die ganze Zeit zu erklären.

Aber bei dir ist ja iwie "genau einer" immer "mindestens einer"...

siehe Rosinenbeispiel und Karten-Hellseher Beispiel:

Du solltest noch lernen, dass "ein Brötchen" in der Mathematik heißt mind. ein Brötchen und nicht genau ein Brötchen.

Es geht hier um genau 4 Karten und ich sehe jetzt keine Formulierung, die nach mindestens 4 sucht.

Ich schon

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Außerdem um

P(mind. einer kommt aus Jahrgangsstufe 12)

berechnen zu können. Muss man doch erstmal P(genau einer kommt aus Jgst. 12) + P(genau zwei kommen aus Jgst. 12) rechnen.

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Das kann man machen muss man aber nicht. Ich hatte extra einen Tipp gegeben

P(mind. einer kommt aus Jahrgangsstufe 12) = 1 - P(keiner kommt aus Jahrgangsstufe 12) = ...

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Du musst lernen zu unterscheiden

genau ein Brötchen
ein Brötchen
mindestens ein Bötchen.

bei genau ein Brötchen ist exakt nur 1 Brötchen gefragt

bei mindestens ein Bötchen ist immer ein oder mehr Brötchen gefragt

bei ein Brötchen ist es mathematisch das es auch mind ein Brotchen ist. Umgangssprachlich heißt es meist genau.

Ich weiß das ist schwierig zu verstehen aber ich bin sicher das schaffst du.

Ich bemühe mich in meinen Formulierungen immer genau und mind. hin zu schreiben. Das kann ich aber nicht bei jeder Mathematikaufgabe machen.

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Ich weiß das ist schwierig zu verstehen aber ich bin sicher das schaffst du.

Du meinst wohl eher, dass es schwierig ist zu erklären.

\(\Large\frac{n}{N}\cdot\frac{n-1}{N-1}=\frac{n^2-n}{N^2-N}\)

- erster Schüler aus N Schülern, Zweiter nur noch aus N-1 Schülern ✅

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Damit hast du jetzt die Wahrscheinlichkeit richtig aufgestellt das beide Schüler aus Jahrgangsstufe 12 sind. Prima.

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Prima.

Oben hast du aber noch was ganz anderes behauptet.

Antwort A

Was ist denn nun die richtige Antwort? Meine Lösung oder Antwort A?

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Ich habe geschrieben

Damit hast du jetzt die Wahrscheinlichkeit richtig aufgestellt das beide Schüler aus Jahrgangsstufe 12 sind. Prima.

Ich habe nicht geschrieben, dass du damit die Aufgabe richtig gelöst hast.

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Die Aufgabe lautet aber:

What is the chance that both students are from Year 12 ?

Und das habe ich doch mit meiner Formel jetzt.

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Und das habe ich doch mit meiner Formel jetzt.

Und du meinst du darfst Teile der Fragestellung einfach so weglassen.

Die Frage lautet

If it is known that at least one student is from Year 12, what is the chance that both students are from Year 12?

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Bayes-Theorem

Was genau habe ich davon jetzt berechnet?

P(A|B);  P(B|A); P(A) oder P(B)?

Und wie berechnet man die restlichen 3 Werte?

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Man kann es auch anders schreiben

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

A: Beide Schüler sind aus Jahrgang 12.
B: Mind. ein Schüler ist aus Jahrgang 12.

Du hast den Zähler P(A ∩ B) berechnet

Du brauchst noch den Nenner P(B) und dann musst du noch den Quotienten bilden.

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dann musst du noch den Quotienten bilden.

Das muss ich nicht unbedingt, ich kann auch ein Produkt bilden.

P(B) wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer in Jgst. 12 ist, also:

\(\Large1-\left(\frac{n}{N}\cdot\frac{n}{N}\right)=1-\left(\frac{n^2}{N^2}\right)\)

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Im Satz vom Bays steht P(A ∩ B) / P(B) und das ist ein Quotient. Natürlich kann man auch mit dem Kehrwert multiplizieren.

1 - n^2/N^2 ist auf jeden Fall verkehrt.

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Stimmt es muss ja ein Schüler weniger sein beim zweiten Mal.

\(\Large1-\left(\frac{n}{N}\cdot\frac{n}{N-1}\right)=1-\left(\frac{n^2}{N^2-N}\right)\)

Wäre dieser Term für P (mind. einer aus Jgst. 12) nun richtig?

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Wäre dieser Term für P (mind. einer aus Jgst. 12) nun richtig?

Wenn du einen Schüler aus n ziehst dann müssen es beim nächsten Ziehen aber auch n - 1 sein.

Aber das ist eh verkehrt, weil du dann die Wahrscheinlichkeit berechnest das weniger als 2 Schüler aus der Jahrgangsstufe 12 sind.

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Wahrscheinlichkeit [...] das weniger als 2 Schüler aus der Jahrgangsstufe 12 sind.

Weniger als zwei ist doch immer noch mindestens einer.

Aber das ist eh verkehrt

Wenn ich einen Schüler aus "n" nicht "ziehen" darf, woher soll ich ihn denn dann ziehen?

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Weniger als zwei ist doch immer noch mindestens einer.

"Mindestens einer" heißt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder ...

Wie du das als aquivalent zu  "weniger als 2" betrachten willst ist mir schleierhaft.

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"Mindestens einer" heißt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder ...

Es werden nur 2 Schüler gezogen. Genau 3 und genau 4 können dabei nicht auftreten.

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Aber das ist eh alles verkehrt

Würden Sie mir dann vielleicht verraten, wie man die Wahrscheinlichkeit für P (mind. einer aus Jgst. 12) berechnet?

Ich weiß nicht, ob das hier alles didaktisch ganz sinnvoll ist, wie Sie das gestalten. Wenn man sich ein Youtube Video zu einer Matheaufgabe anschaut, da wird einem doch auch erstmal etwas anhand eines Beispiels vorgerechnet, damit die Leute es relativ schnell verstehen.

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$$\frac{n^2-n}{N^2-N}:\left( \frac{N-n}{N} \cdot \frac{N-n-1}{N-1} \right)$$

Wie kommt ich damit jetzt auf

\(\huge \frac{n-1}{2 N-n-1} \)

?

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Nun hast du noch vergessen von der Klammer die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Es geht ja nicht darum 2 Schüler, die nicht in der 12. sind zu haben, sondern eben mind. einen aus der 12. dabei zu haben.

$$\frac{n}{N} \cdot \frac{n-1}{N-1} : \left( 1 - \frac{N - n}{N} \cdot \frac{N - 1 - n}{N-1} \right) \newline = \frac{n^2-n}{N^2-N} : \left( 1 - \frac{N^2 - 2 \cdot N \cdot n - N + n^2 + n}{N^2-N} \right) \newline = \frac{n^2-n}{N^2-N} : \left( \frac{N^2-N}{N^2-N} - \frac{N^2 - 2 \cdot N \cdot n - N + n^2 + n}{N^2-N} \right) \newline = \frac{n^2-n}{N^2-N} : \left( \frac{N^2-N - (N^2 - 2 \cdot N \cdot n - N + n^2 + n)}{N^2-N} \right) \newline = (n^2-n) : (N^2-N - (N^2 - 2 \cdot N \cdot n - N + n^2 + n)) \newline = (n^2-n) : (N^2-N - N^2 + 2 \cdot N \cdot n + N - n^2 - n) \newline = (n^2-n) : (2 \cdot N \cdot n - n^2 - n) \newline = (n \cdot (n-1)) : (n \cdot (2 \cdot N - n - 1)) \newline = (n-1) : (2 \cdot N - n - 1) \newline = \frac{n-1}{2 \cdot N - n - 1}$$

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$$\Large\frac{n^2-n}{N^2-N}:\left( 1-\frac{2Nn-n^2-n}{N^2-N} \right)$$

Wie kommt man jetzt auf den Term von A?