Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Polynome

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
\( f(x)=3 x^{3}+x^{2}-20 x-50=x^{3}+x^{2}-2 \text {. } \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Hallo,

bringe alle Summanden auf eine Seite der Gleichung:

\(3 x^{3}+x^{2}-20 x-50=x^{3}+x^{2}-2\\ 2x^3-20x-48=0\)

Durch Probieren findest du eine Nullstelle bei x = 4 und führst eine Polynomdivision durch (oder verwendest das Hornerschema).

Jetzt berechnest \(2x^2+8x+12=0\)

Solltest du keine Lösung erhalten, ist die einzige Lösung x = 4.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo,

ich habe alle Summanden auf eine Seite der Gleichung gebracht, allerdings bekomme ich nur eine Nullstelle bei x=4 raus, wie schreibe ich das genau in mathematischer Schreibweise auf? Muss ich trotzdem die Schritte der Polynomdivision aufschreiben, wenn ich eigentlich weiß, dass nur diese eine Nullstelle vorhanden ist?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße

Sevi

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Hallo Sevi,

ich denke, du brauchst nicht alle Schritte der Polynomdivision aufzuschreiben. Es sollte reichen, wenn du schreibst

\( \left(2 x^{3}-20 x-48\right):(x-4)=2 x^{2}+8 x+12 \)

Jetzt musst du noch zeigen, dass es keine weitere Nullstelle gibt. Rechne also

\( 2 x^{2}+8 x+12=0 \)

bis

\(x^2+4x+6=0\\ x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-6}\)

Das aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, ist die einzige Nullstelle bei x = 4.