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Aufgabe:

Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems:

x^2 + y^2 = 41

xy=20


Problem/Ansatz:

Zuerst wollte ich (I) nach x auflösen indem ich -y^2 rechne und dann die Wurzel nehme, jedoch komme ich mit dem x dann nicht wirklich weiter, wenn ich dies in xy einsetze.

Ich komme auf komplett komische und nicht reelle Lösungen...

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Addiere zunächst das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten. Anschließend subtrahiere das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten und erhalte das neue Gleichungssystem
(1)  (x + y)2 = 81
(2)  (x - y)2 = 1.
Das liefert die vier leicht zu lösende lineare Gleichungssysteme
(3)  x + y = ±9
(4)  x - y = ±1.

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Aloha :)

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2\cdot xy=41-2\cdot20=1\implies x-y=\pm1$$Das heißt, \(x\) und \(y\) müssen sich um \(1\) unterscheiden. Wir nennen die kleinere Zahl \(x\), dann ist \(y=x+1\) und es muss gelten:$$20\stackrel!=x\cdot y=x\cdot(x+1)=x^2+x\implies x^2+x-20=0\implies(x+5)(x-4)=0$$Wir erhalten also \(x=-5\) oder \(x=4\) und damit folgende Lösungsmöglichkeiten \((x|y)\):$$(-5|-4)\quad;\quad(-4|-5)\quad;\quad(4|5)\quad;\quad(5|4)$$

Avatar von 152 k 🚀
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x^2 + y^2 = 41

x = 20/y

400/y^2+y^2=41

400 + y^4 = 41 y^2

y^4-41 y^2 + 400 = 0

Subst y^2 = z

pq-Formel


EDIT: Stimmt, korrigiert.

Avatar von 2,0 k

Es muss +400 lauten in der letzten Zeile

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x2 + y2 = 41   und  xy=20  

Für y = 0 gibt es keine Lösung, also

x2 + y2 = 41  und x=20/y

==>  400/y^2 + y^2 = 41

==>  400  + y^4 = 41 y^2

==>  y^4   -  41 y^2  + 400 = 0

pq-Formel y^2 = 41/2 ± 9/2

also y^2 = 25   oder y^2 = 16

==>   y = ±5  oder y=±4

Dazu die passenden x-Werte bestimmen.


Avatar von 289 k 🚀
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\(x^2 + y^2 = 41\)

\(x*y=20\)        \(y=\frac{20}{x}\)       \(y^2=\frac{400}{x^2}\)

\(x^2 + \frac{400}{x^2} = 41|*x^2\)

\(x^4 + 400 = 41*x^2\)

\(x^4 -41*x^2 =-400 \)

\((x^2 -\frac{41}{2})^2=-400+(\frac{41}{2})^2=\frac{81}{4}|\sqrt{~~} \)

1.)\(x^2 -\frac{41}{2}=\frac{9}{2} \)

 \(x^2 =25\)

\(x₁=5\)   \(y₁=\frac{20}{5}=4\)

\(x₂=-5\)    \(y₂=-\frac{20}{5}=-4\)

2.)\(x^2 -\frac{41}{2}=-\frac{9}{2} \)

\(x^2 =16 \)

\(x₃=4\)

\(x₄=-4\)

Nun noch die beiden y-Werte ausrechnen.

Avatar von 40 k
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x²+y²=41

xy=20 → y=20/x

(x+y)²=x²+y²+2xy=41+2•20=81

x+y=±9

x+ 20/x=9 oder x+ 20/x=-9

x²-9x+20=0 oder x²+9x+20=0

x=±4,5±√(20,25-20)=±4,5±0,5

x=-5 oder x=-4 oder x=4 oder x=5

--> Es gibt vier Lösungspaare (x;y) , nämlich

(-5;-4) , (-4;-5) , (4;5) , (5;4).

:-)

Avatar von 47 k

Es gibt 16 Lösungen? Erstaunlich!

Ich habe meine ungenaue Antwort editiert.

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