Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems:

Question

Aufgabe:

Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems:

x^2 + y^2 = 41

xy=20

Problem/Ansatz:

Zuerst wollte ich (I) nach x auflösen indem ich -y^2 rechne und dann die Wurzel nehme, jedoch komme ich mit dem x dann nicht wirklich weiter, wenn ich dies in xy einsetze.

Ich komme auf komplett komische und nicht reelle Lösungen...

Comments

Addiere zunächst das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten. Anschließend subtrahiere das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten und erhalte das neue Gleichungssystem
(1)  (x + y)² = 81
(2)  (x - y)² = 1.
Das liefert die vier leicht zu lösende lineare Gleichungssysteme
(3)  x + y = ±9
(4)  x - y = ±1.

Answer 1

Aloha :)

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2\cdot xy=41-2\cdot20=1\implies x-y=\pm1$$Das heißt, \(x\) und \(y\) müssen sich um \(1\) unterscheiden. Wir nennen die kleinere Zahl \(x\), dann ist \(y=x+1\) und es muss gelten:$$20\stackrel!=x\cdot y=x\cdot(x+1)=x^2+x\implies x^2+x-20=0\implies(x+5)(x-4)=0$$Wir erhalten also \(x=-5\) oder \(x=4\) und damit folgende Lösungsmöglichkeiten \((x|y)\):$$(-5|-4)\quad;\quad(-4|-5)\quad;\quad(4|5)\quad;\quad(5|4)$$

Answer 2

x^2 + y^2 = 41

x = 20/y

400/y^2+y^2=41

400 + y^4 = 41 y^2

y^4-41 y^2 + 400 = 0

Subst y^2 = z

pq-Formel

EDIT: Stimmt, korrigiert.

Comments

Es muss +400 lauten in der letzten Zeile

Answer 3

x² + y² = 41   und  xy=20  

Für y = 0 gibt es keine Lösung, also

x² + y² = 41  und x=20/y

==>  400/y^2 + y^2 = 41

==>  400  + y^4 = 41 y^2

==>  y^4   -  41 y^2  + 400 = 0

pq-Formel y^2 = 41/2 ± 9/2

also y^2 = 25   oder y^2 = 16

==>   y = ±5  oder y=±4

Dazu die passenden x-Werte bestimmen.

Answer 4

\(x^2 + y^2 = 41\)

\(x*y=20\)        \(y=\frac{20}{x}\)       \(y^2=\frac{400}{x^2}\)

\(x^2 + \frac{400}{x^2} = 41|*x^2\)

\(x^4 + 400 = 41*x^2\)

\(x^4 -41*x^2 =-400 \)

\((x^2 -\frac{41}{2})^2=-400+(\frac{41}{2})^2=\frac{81}{4}|\sqrt{~~} \)

1.)\(x^2 -\frac{41}{2}=\frac{9}{2} \)

 \(x^2 =25\)

\(x₁=5\)   \(y₁=\frac{20}{5}=4\)

\(x₂=-5\)    \(y₂=-\frac{20}{5}=-4\)

2.)\(x^2 -\frac{41}{2}=-\frac{9}{2} \)

\(x^2 =16 \)

\(x₃=4\)

\(x₄=-4\)

Nun noch die beiden y-Werte ausrechnen.

Answer 5

x²+y²=41

xy=20 → y=20/x

(x+y)²=x²+y²+2xy=41+2•20=81

x+y=±9

x+ 20/x=9 oder x+ 20/x=-9

x²-9x+20=0 oder x²+9x+20=0

x=±4,5±√(20,25-20)=±4,5±0,5

x=-5 oder x=-4 oder x=4 oder x=5

--> Es gibt vier Lösungspaare (x;y) , nämlich

(-5;-4) , (-4;-5) , (4;5) , (5;4).

:-)

Comments

Es gibt 16 Lösungen? Erstaunlich!

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Ich habe meine ungenaue Antwort editiert.