Aloha :)
zu a) Hier brauchst du nur die beiden Determinanten auszurechnen:
$$\operatorname{det}(A\cdot B)=\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(B)=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 0 & -2\\1 & 3 & 1 & -3\\-2 & -1 & 2 & 0\\-1 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}1 & 3 & -2 & 4\\0 & 1 & 3 & -2\\2 & 1 & -1 & 1\\0 & 2 & 1 & 0\end{array}\right|$$
Du kannst eine Reihe (= Zeile oder Spalte) zu einer anderen Reihe beliebig oft addieren (oder subtrahieren), ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Wir nehmen von jeder Determinante die erste Zeile und addieren bzw. subtrahieren sie zu den anderen 3 Zeilen, damit in der ersten Spalte lauter Nullen entstehen:
$$\operatorname{det}(A\cdot B)=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 0 & -2\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & 3 & 2 & -4\\0 & 6 & -1 & 0\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}1 & 3 & -2 & 4\\0 & 1 & 3 & -2\\0 & -5 & 3 & -7\\0 & 2 & 1 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1\\3 & 2 & -4\\6 & -1 & 0\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}1 & 3 & -2\\-5 & 3 & -7\\2 & 1 & 0\end{array}\right|$$
Das machen wir nochmal mit den 3x3-Determinanten:
$$\operatorname{det}(A\cdot B)=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1\\0 & -1 & -1\\0 & -7 & 6\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}1 & 3 & -2\\0 & 18 & -17\\0 & -5 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}-1 & -1\\-7 & 6\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}18 & -17\\-5 & 4\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A\cdot B)}=(-6-7)\cdot(72-85)=(-13)^2=169$$
zu b) Wegen des Determinanten-Multiplikationssatzes gilt:$$1=\operatorname{det}(\mathbf1_{n\times n})=\operatorname{det}(C\cdot C^{-1})=\operatorname{det}(C)\cdot\operatorname{det}(C^{-1})\implies\operatorname{det}(C^{-1})=\frac{1}{\operatorname{det}(C)}$$
Um die Determinante der inversen Matrix zu bestimmen, brauchst du die inverse Matrix selbst also gar nicht zu berechnen. Wir bestimmen einfach die Determinante von \(C\) und nehmen ihren Kehrwert ;)
Wir subtrahieren das Doppelte der ersten Zeile von der dritten:$$\operatorname{det}(C)=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 0 & 0 & y\\2 & 4 & 9 & 5\\0 & 2 & 1 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 0 & 0 & y\\0 & 0 & 3 & -3\\0 & 2 & 1 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 0 & y\\0 & 3 & -3\\2 & 1 & x\end{array}\right|$$
Beim Tausch zweier Reihen ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wir vertauschen die erste und die dritte Zeile und erhalten eine Dreieckmatrix (unterhalb der Diagonale stehen nur Nullen). Die Determinante einer Dreieckmatrix ist einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen:$$\operatorname{det}(C)=-\left|\begin{array}{rrrr}2 & 1 & x\\0 & 3 & -3\\0 & 0 & y\end{array}\right|=-6y$$
Damit haben wir die Determinante der inversen Matrix gefunden:$$\operatorname{det}(C^{-1})=-\frac{1}{6y}$$
