Die Determinante von einer 4x4 Matrix berechnen

Question

Wie genau kriege ich die Determinante von der 4x4 Matrix raus?

5	4	2	1
2	3	1	-2
-5	-7	-3	9
1	-2	-1	4

Answer 1

Schau mal dort:

https://matrix.reshish.com/de/determinant.php

Answer 2

Aloha :)

Wir können das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Dasselbe gilt für die Spalten. Damit können wir die Determinante zunächst vereinfachen:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}5 & 4 & 2 & 1\\2 & 3 & 1 & -2\\-5 & -7 & -3 & 9\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|\stackrel{{Z_3+=Z_1}\atop{Z_2-=2Z_4}}{=}\left|\begin{array}{rrrr}5 & 4 & 2 & 1\\0 & 7 & 3 & -10\\0 & -3 & -1 & 10\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|\stackrel{{Z_1-=5Z_4}\atop{Z_2+=Z_3}}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 14 & 7 & -19\\0 & 4 & 2 & 0\\0 & -3 & -1 & 10\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|$$$$=-\left|\begin{array}{rrrr}14 & 7 & -19\\4 & 2 & 0\\-3 & -1 & 10\end{array}\right|\stackrel{S_1-=2S_2}{=}-\left|\begin{array}{rrrr}0 & 7 & -19\\0 & 2 & 0\\-1 & -1 & 10\end{array}\right|=-(-1)\left|\begin{array}{rrrr}7 & -19\\2 & 0\end{array}\right|=38$$