Verteilungsfunktion eigenschaft Beweis

Question

Aufgabe:

Verteilungsfunktion Eigenschaft Beweis

Problem/Ansatz:

Ich habe siesen beweis im Internet gefunden:

(-∞,b]= (-∞ q)U(a,b]

(a,b]=(-∞,b]-(-∞,a)

P((a,b])= P((-∞,b])-F((-∞,a))=F( b)-F(a)

Ist diese Rechnung korrekt?Wie kann man sie begründen/in eigenen Worten erzählen?

Answer 1

Für das Ganze sollen wohl a,b reelle Zahlen sein mit $a \leq b$. Dann sind in den Gleichungen einige Klammern falsch gesetzt. Also:

$$(-\infty,b]=(-\infty,a] \cup (a,b]$$

D.h. eine reelle Zahl $x \leq b$ erfüllt $x \leq a$ oder $a<x\leq b$. Das schreibt man jetzt um: Eine reelle Zahl x liegt im Intervall $(a,b]$ genau dann, wenn sie im Interval $(-\infty,b]$ liegt aber nicht im Intervall $(-\infty,a]$:

$$(a,b]=(-\infty,b] \setminus (-\infty,a]$$

Dies Umformung ist allerdings eigentlich überflüssig, denn schon aus der ersten Gleichung folgt für die Wahrscheinlichkeiten:

$$P(X \in (-\infty,b])=P(X \in(-\infty,a])+P(X \in (a,b])$$

Und das umgeschrieben mit der Verteilungsfunktion:

$$F(b)=F(a)+P(X \in (a,b])$$

Comments

Danke!!Jetzt weiß ich wie genau man darauf kommt!