Monotonie Aufgaben Folgenglieder

Question

Aufgabe:

Monotonie

Problem/Ansatz:

Gegeben sei die Foge ⟨a_n⟩ durch nebenstehende Bidungsgesetz ⟨a_n⟩  = ⟨n²/2n+3 ⟩ (bruch hat nicht funktioniert)

Kann mir jemanden wenn moeglich die folgenden Aufgaben erklaeren?

• Ermittle die ersten 5 Glieder der Folge

•Begruende welche Art von Monotonie vermutlich vorliegt

•Beweise nachvollziehbar, dass deine Vermutung fuer alle Folgenglieder zutrifft.

Answer 1

Ermittle die ersten 5 Glieder der Folge

Du sollst hier nur für n die Werte von 1 bis 5 einsetzen und ausrechnen

an = n^2/(2·n + 3)

a1 = 0.2
a2 = 0.5714285714
a3 = 1
a4 = 1.454545454
a5 = 1.923076923

Begruende welche Art von Monotonie vermutlich vorliegt
Beweise nachvollziehbar, dass deine Vermutung fuer alle Folgenglieder zutrifft

streng monotomes Wachstum

an+1 > an

(n + 1)^2/(2·(n + 1) + 3) > n^2/(2·n + 3)
(n^2 + 2·n + 1)/(2·n + 5) > n^2/(2·n + 3)
(n^2 + 2·n + 1)·(2·n + 3) > n^2·(2·n + 5)
2·n^3 + 7·n^2 + 8·n + 3 > 2·n^3 + 5·n^2
2·n^2 + 8·n + 3 > 0 → wahr.

Einzige Nullstellen im negativen Bereich und daher sind die Funktionswerte für alle n größer als Null.

Comments

Ein Beweis, der von der Behauptung ausgeht...

(Nicht genannte) Umformungsschritte, die bei Gleichungen funktionieren, bei Ungleichungen aber fatal sein könnten...

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Du kannst sicher begründen, dass alle verwendeten Umformungsschritte für die Annahme n >= 1 gelten.

Du kannst auch sicher begründen, dass man die Herleitung auch von unten nach oben lesen könnte.

Bei unserem Prof. in der Uni durften wir immer mit dem anfangen, was zu beweisen ist.

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Vielen Dank!!

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Bei unserem Prof. in der Uni durften wir immer mit dem anfangen, was zu beweisen ist

Und was war der von Beruf?

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Bei unserem Prof. in der Uni durften wir immer mit dem anfangen, was zu beweisen ist.

Das hat er sicher nicht so allgemein gemeint, sondern sicher,

nur, dass es zulässig sei, wenn man Äquivalenzumformungen

macht. Was hindert dich daran \(\iff\) zu verwenden?

Verwendet man dies nicht, dann werden die Zeilen als

Folgerungen der jeweiligen Vorgängerzeile interpretiert;

es sei denn, man sagt so etwas wie: "folgende Zeilen seien

Äquivalenzumformungen".

Und übrigens: "an+1 > an" ist eine extrem schlampige

Darstellung (da in dieser Gestalt vollkommen trivial).

Warum bemüht sich eigentlich unsereins um eine

vernünftige eindeutige Formeldarstellung ?

Sollen denn die Studenten / Studentinnen hier lernen, dass

sie das in ihren Hausaufgaben ebenso schlecht machen sollen?

Answer 2

Zur Untersuchung der Monotonie betrachten wir das Vorzeichen des Terms

\(a_{n+1}-a_n = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)+3}-\frac{n^2}{2n+3}= \frac{n^2+2n+1}{2n+5}-\frac{n^2}{2n+3}\).

Es gilt \( \frac{n^2+2n+1}{2n+5}-\frac{n^2}{2n+3}=\frac{(n^2+2n+1)(2n+3)-n^2(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{2n^2+8n+3}{(2n+5)(2n+3)}\).

Wegen n>0 sind sowohl alle Summanden im Zähler als auch beide Faktoren des Nenners (und damit der gesamte erhaltene Bruch) positiv.

Aus \(a_{n+1}-a_n >0\) für alle n folgt \(a_{n+1}>a_n \)  für alle n und somit das monotone Wachsen.