Bestimmen Sie I3 und zeigen Sie, dass b4 - a4 1 : 200000

Question

Aufgabe: Sei x>1 . Definiere rekursiv I_n := [ a_n,b_n ], a_n, b_n  ∈ ℝ , n ∈ ℕ durch

a₁= 1,    b₁  =  x

a_n+1  = 2_anb_n :  a_n+b_{n  ,}  b_n+1 = a_n+b_n : 2

Bestimmen Sie I₃ und zeigen Sie, dass b₄ -  a₄ < 1 : 200000

Problem/Ansatz:

wie bestimme ich I₃ ,b₄  und a₄ ?

Mein Lösungsansatz :

ich bestimme I₃ indem ich a_n+1 zu a_n und b_n+1  zu b_n umforme ...?

Danach kann ich a₄ und b₄ berechnen .

Comments

ich unterstelle Du meinst nicht$$a_{n+1} = 2a_nb_n \div a_n+b_n \implies a_{n+1} = \frac{2{\cancel{a_n}}\space b_n}{{\cancel{a_n}}} + a_{n+1}=2b_n+a_{n+1}\\ b_{n+1} = a_n+b_n \div 2 \implies a_n+\frac{b_n}{2}$$so wie Du es geschrieben hast, sondern Du meinst$$a_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \quad b_{n+1}= \frac{a_n+b_n}{2}$$außerdem liegt \(x\) im Intervall \(x \in[1;\,2]\) ... oder?

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Hi , ja genau, also so wie sie es in der fünften Zeile getippt haben.

Und es steht bei der Aufgabe nur das x >1 ist  .Etwas mit Intervall sehe ich nicht.

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ja genau, also so wie sie es in der fünften Zeile getippt haben.

Dann solltest Du das auch hinschreiben! $$a_{n+1} = 2a_nb_n \div {\color{red}(}a_n+b_n{\color{red})} \implies a_{n+1} = \frac{2a_n\space b_n}{{a_n+b_n}}\\ b_{n+1} = {\color{red}(}a_n+b_n{\color{red})} \div 2 \implies \frac{a_n+b_n}{2}$$Tipp: Punktrechnung (mal, geteilt) geht vor Strichrechnung (plus, minus)

Answer 1

Hallo

I3=[a3,b3] also musst du die bestimmen. in dem du aus a1,b1 a2,b2 machst daraus a3,b3 und schließlich a4, b4-

Gruß lul

Comments

Wie komme ich von a1, b1 auf a2, b2 ?

ich habe da einfach a2 = a1+1 = 2*1*x / 1 +x = 2x / 1+x

b2 = b1+1 = 1+x / 2

Ist das richtig ?

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Danke ich habe es jetzt verstanden . Die Aufgabe ist erledigt . :)

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Danke ich habe es jetzt verstanden . Die Aufgabe ist erledigt . :)

So so - dann setze doch mal \(x =100\) und prüfe nach, ob$$b_4-a_4 \lt 1/200000 \quad ?$$

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x> 1 also x>= 2 ist dann ist b1 = x = 2

wenn ich b4- a4 berechne kommt 1/ 235416 und das ist kleiner als 1 /200000

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x = 2

Du solltest nicht \(x=2\) einsetzen, sondern \(x=100\) ;-) Lt. Deiner Angabe war das \(x\) ja nach oben nicht beschränkt!