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Aufgabe:

Bestimmt den größt möglichen Flächeninhalt für das Dreieck in Abhängigkeit zum Winkel φ


Problem/Ansatz:

Komme durchs umstellen nicht weiter. IMG_20221019_004153.jpg

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Beste Antwort

A = 1/2·r·COS(φ)·r·SIN(φ)

A = 0.5·r^2·SIN(φ)·COS(φ)

Benutze hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

A = 0.5·r^2·0.5·SIN(2·φ)

Das wird maximal, wo der Sinus maximal wird. Das wäre, wenn das Argument pi/2 ist.

2·φ = pi/2 → φ = pi/4

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Sollte ich mir dazu noch einiges durchlesen oder kommt das noch in der Obstufenthematik dran? Ich lerne Mathe auf eigene Faust mittels einiger Schulhefte. Aber die Art von Lösung solcher Aufgaben wie du sie reingeschrieben hast kam bei meinen Heften nicht ran. Meinst du das das später thematisiert wird oder das das schon hätte vorkommen müssen? Das einzige was unter der Oberstufe bei mir rangekommen ist in den Heften, ist das rechnen mit den Additionstheoremen und einige Beziehung von Sinus Cosinus und co. sowie die Verschiebung der Funktionen.

Additionstheoreme sind bis zum Abitur nicht Pflicht können aber Wahlweise von Lehrern behandelt werden. Zumindest in Hamburg.

Mir würde das Verfahren von Abakus sehr gefallen. Allerdings werden dort die meisten Schüler nicht drauf kommen. Das naheliegendst wäre mit der Ableitung wie MontyPython es vorgemacht hat. Und die muss man in der Oberstufe eh können.

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x=r*cos(phi)

y=r*sin(phi)

A(phi)=½•r²•cos(phi)•sin(phi)

mit 0°<phi<90°

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Dankeschön für die Antwort um die Uhrzeit. Bis dahin bin ich auch gekommen. Aber bei meinen bisherigen Extremwertaufgaben konnte ich den gesuchten maximalen Wert von der Scheitelpunktsform ablesen. Die habe ich hier aber nicht. Deshalb weiß ich nicht weiter. (wie ich zur gesuchten Winkelgröße komme).

Hallo,

leite nach phi ab.

A'(phi)=½r²•(2•cos²(phi)-1)      (*)

Null setzen.

cos²(phi)=½

phi=45°

Das Dreieck ist dann ein halbes Quadrat.

(*) Es gibt auch andere Formen.

Wenn der Fragesteller schreibt   Die Ableitungen habe ich noch nicht als Thema ,
dann solltest du nicht mit   leite nach phi ab   antworten.

Wenn der Fragesteller schreibt Die Ableitungen habe ich noch nicht als Thema ,

Weder in der Frage, noch in einem Kommentar des Fragestellers auf dieser Seite kann ich dieses Zitat entdecken.

Ich glaube der Gast hj hat das einem anderen Beitrag entnommen. Aber vielleicht kann mir ja einer von euch beiden helfen zu verstehen was abakus meint, oder ob abakus einen Denkfehler hatte bei; https://www.mathelounge.de/964451/erreichenden-flacheninhalt-gleichschenkligen-abhangigkeit#c964595

Die Formel die er zur Berechnung der Höhe der oberen Spitze entnimmt bzw. des gestauchten Dreiecks, ist doch nur für x= a gültig oder nicht? Bzw. so nicht anwendbar. X ist ja variierbar und so nur für einen Fall gleich a.

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Hallo,

Aber bei meinen bisherigen Extremwertaufgaben konnte ich den gesuchten maximalen Wert von der Scheitelpunktsform ablesen.

Es gibt auch hier eine einfache geometrische Lösung, die ohne Ableitungen auskommt. Halte dazu die Hypotenuse \(r=OE\) des Dreiecks 'fest' und variiere den Winkel \(\varphi\) indem Du den Rest des Bildes um die untere linke Dreiecksecke \(O\) rotierst:

https://www.desmos.com/calculator/am6b63ptec

Bewege dazu den Punkt \(P\) mit der Maus nach links. Wann wird dann die Höhe (rot) über der Hypotenuse - und damit der Flächeninhalt des Dreiecks \(\triangle OXE\) - maximal?

Gruß Werner

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Hey Werner,
was sagst du zu meiner Lösung.
Völlig daneben oder genial ?
mfg Georg

Wenn eine Frau einen reichen älteren Mann kennenlernt und sich nicht spontan in ihn verliebt dann hat Sie kein Herz.

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Ich gehe einmal von deinem Bild aus.

Der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks
x * y ist ein Quadrat ( aus Erfahrung ).

x = y

Die Diagonale r dürfte somit einen Winkel
von 45 ° haben
Das Dreieck und das Rechteck haben an derselben
Stelle ihr Maximum also

φ = 45 °

Na, hoffentlich stimmt das.

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Hey Werner,
was sagst du zu meiner Lösung.
Völlig daneben oder genial ?
Der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks x * y ist ein Quadrat ( aus Erfahrung ).

'aus Erfahrung' ist zumindest gut geraten ;-) Du kannst das aber auch noch etwas unterfüttern:

Das Produkt \(x\cdot y\) wird u.a. dann mit \(x=y\) maximal, wenn die Nebenbedingung wie hier \(x^2+y^2=r=\text{constant}\) ist.

Mit Lagrange lässt sich das auch belegen:$$\begin{aligned}L(x,y,\lambda) &= xy + \lambda(x^2+y^2-r) \\ L_x &= y + 2\lambda x \to 0\\ L_y&= x + 2\lambda y \to 0\\ \implies x^2&=y^2\end{aligned}$$aus der Zielfunktion \(x\cdot y\) folgt, dass ein Maximum vorliegt, wenn \(x\) und \(y\) dasselbe Vorzeichen haben, also \(x=y\) ist.


Man könnte hier auch anschaulicher argmentieren, dass man ohne Einschrängung der Allgemeinheit \(x\) und \(y\) vertauschen kann. Das entspricht einer Spiegelung der Hypotenuse an der Winkelhalbierenden des Quadranten (45°-Geraden).

Daraus folgt, dass bei \(x=y\) ein kritischer Punkt vorhanden sein muss. Da im Intervall \(\varphi \in [0°;\,90°]\) keine Nebenoptima zu erwarten sind, liegt das Optimum wohl genau da.

keine Nebenoptima zu erwarten sind

Was soll das denn bedeuten - eine völlig neue mathematische Methode ?

.. - eine völlig neue mathematische Methode ?

Genau ... die Methode heißt 'Erfahrung' ;-)

Kennst du das Zitat  'aus Erfahrung' ist zumindest gut geraten ?

Ich kenne nur die alte AEG-Werbung...

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0,5*x*y ist maximal

gdw

2xy wird maximal

gdw

-2xy wird minimal

gdw

-2xy+c wird minimal (für eine beliebige Konstante c)

gdw

-2xy+x²+y² wird minimal (x²+y² ist hier die Konstante r²)

gdw

(x-y)² wird minimal

gdw x=y.


(Argumentation ohne Ableitungen, ohne Lagrange, ohne Scheitelspunktsform)

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