Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks in Abhängigkeit von a oder b

Question

Aufgabe:

In eigener Angelegenheit habe ich überlegt ob mit meinem Wissensstand ( also ohne Ableitungen ), es möglich ist den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreieck ABC nur in Abhängigkeit von a oder b anzugeben, wenn die Seite \(c\,(=r)\) bekannt ist.

Bei meinem ersten Versuch gestern Abend, kam ich nicht weiter. Da mit dem Pythagoras, dann eine Gleichung 3. Grades entsteht, die ich bis dato nicht lösen kann im Sinne von Extremwerte ablesen. \( \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{r^2- x^2} \)

Answer 1

Aloha :)

Die Seite \(c\) ist die Diagonale des Rechtecks. Nach Pythagoras gilt:$$c^2=a^2+b^2\implies b^2=c^2-a^2\implies\pink{b=\sqrt{c^2-a^2}}$$

Für den Flächeninhalt des Rechtecks heißt das:$$F=a\cdot\pink b=a\cdot\pink{\sqrt{c^2-a^2}}$$

Ergänzung:

Für zwei beliebige Zahlen \(a\) und \(b\) gilt ganz allgemein:$$(a-b)^2\ge0\implies a^2-2ab+b^2\ge0\implies 2ab\le a^2+b^2\implies ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$$Das Gleichheitszeichen (Maximalwert) gilt genau dann, wenn \(a=b\) ist.

Wegen Pythagoras \((a^2+b^2=c^2)\) gilt daher für die Fläche eines rechtwinligen Dreiecks:$$F=\frac12ab\le\frac{a^2+b^2}{4}=\frac{c^2}{4}$$

Im Extremfall maximaler Fläche gilt daher \(a=b\) und \(ab=\frac{c^2}{2}\).

Comments

Hallo :)

Ja soweit bin ich wie oben beschrieben schon gekommen. Nur habe ich dann eine Funktion 3. Grades, wenn ich die Wurzel auflöse und multipliziere. Also gibt es perse keine Möglichkeit mittels Scheitelpunktform und ohne Ableitung diesen maximalwn Flächeninhalt zu bestimmen?

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... und ohne Ableitung diesen maximalwn Flächeninhalt zu bestimmen?

ja sicher doch. Es ist immer das gleiche. In diesem konkretem Fall forme die Gleichung mit Hilfe des Kathensatzes und des Pythagoras so um, dass nur die Höhe über der Hypotenuse und die Hypotenuse selbst stehen bleiben. $$x\sqrt{r^2-x^2} = hr$$für konstantes \(r\) wird \(hr\) maximal, wenn \(h\) maximal wird.

Und aus dem Thalessatz kannst Du dann folgern, wie groß das zugehörige \(x\) wird ;-)

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Wo ist denn das \( \frac{1}{2} \) hin, aus der Flächeninhaltsformel? Wärst du so lieb und könntest mir die Umformung einmal ausführlich aufschreiben?

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Sorry, mir war nicht klar, dass du ein Extremwertproblem lösen möchtest.

Daher habe ich meine Antwort ergänzt.

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Wenn es dir nur um den x-Wert geht, bei dem der Flächeninhalt maximal wird, kannst du den Faktor ½ doch weglassen.

Zu Werners Formel:

A_Dreieck=½•a•b=½•h•c

Du schreibst statt a x, statt b die Wurzel und statt c r.

--> x•√(...) = h•r

:-)

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Dankeschön für die Antwort. Mir ging es eher um das h. Weil ich nicht ganz wusste wo es hergeholt wurde. @Werner, ich habe jetzt mal in etwa eine Skizze gemacht, und hoffe das es so ist wie du es versucht hast zu erklären. Mein Schluss, A wird maximal wenn h auf r 0.5 r beträgt.

Text erkannt:

\( x^{2}+y^{2}=r^{2} \)
\( \Leftrightarrow y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} \)
\( A_{D}=\frac{1}{2} x \cdot y \)
\( A_{D}=\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{r^{2}-x^{2}} \)
curberder giet
\( A_{D}=\frac{1}{2} \cdot h_{r} r \)
\( A_{\text {max }}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} r \cdot r \)

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Das ist ja eine interessante Herangehensweise @Tschakabumba. Dankeschön!

Answer 2

den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreieck ABC nur in Abhängigkeit von a oder b anzugeben

\(A = \frac{1}{2}ab\) falls \(\gamma = 90°\).