Bestimmen Sie die partielle Ableitung ƒ1' (x1, x2)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung  ƒ₁^'  _{(x1, x2)}
der Funktion

ƒ(x₁, x₂)= 140x₁^0.79  x₂ ^0.21

an der Stelle
a= 2.0   ( 2.0 und 2.1 gehören zusammen in eine Klammer).
   2.1 

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung \( f_{1}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}\right) \) der Funktion
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=140 x_{1}^{0.79} x_{2}^{0.21} \)
an der Stelle \( \mathbf{a}=\left(\begin{array}{l}2.0 \\ 2.1\end{array}\right) \)

partielle Ableitung

Answer 1

Aloha :)

Variablen können grundsätzlich immer verschiedene Werte annehmen (daher ihr Name). Bei einer partiellen Ableitung werden diese Werte vorher gewählt und dann während der Ableitung festgehalten. Das gilt für alle Variablen außer für die eine, nach der abgeleitet wird.

Im vorliegenden Fall haben wir zwei Variablen \(x_1\) und \(x_2\). Diese nenne ich im Folgenden \(x\) und \(y\), um mir die Indizes zu sparen:$$f(x;y)=140\cdot \pink{x^{0,79}}\cdot y^{0,21}$$

Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) wird der Wert für die Variable \(y\) festgehalten, d.h. wir können \(y\) wie eine konstante Zahl behandeln:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=140\cdot\pink{0,79x^{-0,21}}\cdot y^{0,21}=110,6\cdot\left(\frac yx\right)^{0,21}$$

Speziell an der Stelle \(\vec a=(2,0|2,1)\) ist \(x=2,0\) und \(y=2,1\):$$\frac{\partial f(2,0\,;\,2,1)}{\partial x}=110,6\cdot\left(\frac{2,1}{2,0}\right)^{0,21}\approx111,739$$

Comments

vielen dank, und wenn man so eine funktion hat:

ƒ(x₁ , x₂ ) = -12*x₁ *ln(x₁ ) - 6*x₂  *ln(x₂ )  

an der stelle : a=  2

                          5    ( 2 und 5 auch zusammen ())

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Bei der partiellen Ableitung nach \(x_1\) werden alle Variablen außer \(x_1\) als konstant betrachtet. Daher fällt der Term mit \(\ln(x_2)\) beim Ableiten weg und du brauchst nur den ersten Term abzuleiten. Dazu empfehle ich die Produktregel.

Kriegst du das hin?

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leider nicht, können sie vielleicht wieder step by step erklären, sowie erste aufgabe.

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Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) wählen wir für \(y\) einen Wert und halten ihn fest. Daher ist \(y\) konstant und der ganze zweite Term ist konstant. Beim Ableiten wird eine Konstante zu Null. Den ersten Term leiten wir mit der Produktregel ab.$$f(x;y)=\underbrace{-12x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}-\underbrace{6\cdot y\cdot\ln(y)}_{=\text{const}}$$

$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\underbrace{-12}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}+\underbrace{(-12x)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}=-12\ln(x)-12$$

Jetzt musst du nur noch \(x=2\) einsetzen, weil \(y=5\) in der Ableitung ja gar nicht mehr vorkommt.

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vielen Dank :)