Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit nach 12 Drehungen einen kumulierten Wert von 4 oder weniger zu haben.

Question

Aufgabe:

Ein Glücksrad hat 7 Felder mit den unten aufgeführten Wahrscheinlichkeiten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit nach 12 Drehungen einen kumulierten Wert von 4 oder weniger zu haben.

Wahrscheinlichkeit	Wert
21%	1
14%	2
8%	3
3%	-1
4%	-2
1%	-6
49%	0

Answer 1

Aloha :)

Der Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma^2\) der Verteilung sind:$$\mu=0,56\quad;\quad\sigma^2\approx1,7264$$Sei \(X\) die Zufallsvariable für die Summe nach \(n=12\) Drehungen. Da die Drehungen statistisch unabhängig voneinander sind, addieren sich nach dem zentralen Grenzwertsatz die Erwartungswerte und die Varianzen der Einzeldrehungen. Für Erwartungswert und Varianz gilt daher:$$\mu_X=12\mu=6,72\quad;\quad\sigma^2_X=12\sigma^2=20,7168$$

Mit der Standardnormalverteilung \(\phi(z)\) erhalten wir damit:$$P(X\le4)=\phi\left(\frac{4-\mu_X}{\sigma_X}\right)=\phi(-0,5975958)=0,27505482\approx27,5\%$$

Comments

\(P(X\le4)=\phi\left(\frac{4-\mu_X}{\sigma_X}\right)=\phi(1,659812)=0,951524\approx95,15\%\)

Das es bei 95% liegt, kann gut hinhauen. Ich habe nämlich 3 mal dieses Zufallsexperiment durchgeführt und es kam jedes mal 2 raus. Das Ergebnis 2 als kumulierte Summe scheint hier also von allen Ergebnissen am wahrscheinlichsten zu sein.

Mich würde interessieren wie Sie auf den Erwartungswert von 0.08 kommen. Ich habe ihn so berechnet: Wahrscheinlichkeiten * Auszahlungen und komme auf folgenden Wert: 0.21+0.28+0.24-0.03-0.08-0.06+49*0 = 0.56.

Und als Varianz dann: 0.21(1-0.56)^2+0.14*(2-0.56)^2+0.08(3-0.56)^2+0.03(-1-0.56)^2+0.04(-2-0.56)^2+0.01(-6-0.56)^2 = 1.57

Und was mir auffällt, dass bei Normalverteilung, genau das Gegenereignis dargestellt wird:

Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 4, liegt hier bei 4%. Doch wenn man das von 1 abzieht kommt man annähernd auf die wirkliche Wahrscheinlichkeit.

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Ich hatte die Werte in die falsche Excel-Vorlage eingegeben, daher wurden sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz durch die Anzahl der Werte (=7) dividiert.

Habe das nun korrigiert ;)

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Was wäre an diesem Ansatz falsch? Geogebra zeigt bei diesen Werten eine Fläche von etwa 45% für unter 4 an:

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Du hast \(\sigma^2\) und nicht \(\sigma\) angegeben.

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Du hast \(\sigma^2\) und nicht \(\sigma\) angegeben.

Ich habe den falschen Sigma Wert, den Sie angaben, eingegeben.

Aber selbst mit Ihrem Sigma Wert von sqrt(1.7264)*12 = 15.767 komme ich immer noch auf eine kleine Abweichung und nicht auf ganz auf 27.5%:

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Aber selbst mit Ihrem Sigma Wert von sqrt(1.7264)*12 = 15.767 komme ich immer noch auf eine kleine Abweichung und nicht auf ganz auf 27.5%:

Was erwartest du? Die Verwendung der stetigen Normalverteilung zur Berechnung irgendwelcher Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße ist nur eine mehr oder weniger gute Krücke!

So kann nur ein Näherungswert geliefert werden.

Answer 2

Man dürfte bei der Berechnung ruhig die Stetigkeitskorrektur benutzen

P(X ≤ 4) = Φ((4.5 - 6.75)/√20.7168) = 0.3105 = 31%

Da das ganze eine Näherung ist, macht es auch wenig Sinn viele Nachkommastellen bei der Wahrscheinlichkeit anzugeben.