Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Variablen können grundsätzlich immer verschiedene Werte annehmen (daher ihr Name). Bei einer partiellen Ableitung werden diese Werte vorher gewählt und dann während der Ableitung festgehalten. Das gilt für alle Variablen außer für die eine, nach der abgeleitet wird.
Im vorliegenden Fall haben wir zwei Variablen \(x_1\) und \(x_2\). Diese nenne ich im Folgenden \(x\) und \(y\), um mir die Indizes zu sparen:$$f(x;y)=-16\ln(x)-40\ln(y)$$
Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) wird der Wert für die Variable \(y\) festgehalten, d.h. wir können \(y\) wie eine konstante Zahl behandeln. Da die Ableitung einer konstanten Zahl gleich Null ist, müssen wir nur \(\ln(x)\) ableiten:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=-16\cdot\frac1x-0=-\frac{16}{x}$$
Speziell an der Stelle \(\vec a=(2,5|3,5)\) ist \(x=2,5\) und \(y=3,5\). Da \(y\) in der partiellen Ableitung aber überhaupt nicht mehr vorkommt, gilt hier einfach:
$$\frac{\partial f(2,5\,;\,3,5)}{\partial x}=-\frac{16}{2,5}=-\frac{16}{\frac52}=-\frac{32}{5}=-6,4$$
