Berechnung einer Anleihe mit Hilfe von partieller Ableitung im Rahmen von taylor expansion & convexity + Interpretation

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Anleihe mit einem Face Value von 100 der Zinssatz ist 6% und diese läuft 5 Jahre.

Nun soll ich diese partiell nach dem Zins zwei mal ableiten (analytisch) t=0 und r=0,06

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, ich habe eine Frage zur wie ich glaube partiellen Ableitung. Ich interessiere mich für Anleihen und möchte die Kalkulation dahinter verstehen. Die Lösung habe ich bereits. Es geht mir nur darum die Mathematik dahinter zu verstehen (Zum Beispiel ob es eine generelle Formel für diesen Typ gibt). Wenn mir die folgende Aufgabe jemand erklären kann , bzw. auf eine Seite verweisen kann , in der das ganze erklärt wird, wäre ich sehr Dankbar!

∂B/∂r(0, 0,06) = 100 * (-5)(1,06^-5-1) = -352.48

und die zweite Ableitung (Convexity)

∂^2B/∂r^2(0, 0,06) = 100 * (-5)*(-6)*(1,06^-6-1) = 1995.17

Ich verstehe grundsätzlich nicht welche Formel das ist, da wir damals in der Schule/Uni sowas nie behandelt haben.

∂B/∂r(0, 0,06) dieser Ausdruck müsste doch der für eine partielle Ableitung sein ? Und die Zahlen in der Klammer t=0 und dem Zins von 6% entsprechen? Die Schreibweise ist mir leider nicht geläufig

t = 0 müsste doch dann auch dem sogenannten present value entsprechen, also wie viel die Anleihe heute Wert wäre ?

Also müsste t = 1 zum Beispiel dem Wert in einem Jahr entsprechen ?

Weiterhin würde ich gerne wissen , wie man die Ergebnisse dann noch interpretiert. Falls jemand das ganze noch graphisch ergänzen könne wäre das Super ! Ich weiß nur das die erste Ableitung die sogenannte momentane Änderungsrate sein soll. Wie man diese in diesem Beispiel interepretiert leider nicht :(

Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. Im Voraus vielen Dank!

Comments

Niemand ? Oder habe ich beim posten etwas nicht berücksichtigt ?

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Ich habe nun nochmal etwas nachgeforscht. Bin leider verwirrter den je.

Da das ganze ein Bruch ist würde ich die Quotientenregel anwenden  also wäre in diesem Beispiel mein Facevalue von 100 g(x) und (1+r)^5 mein h(x)

Wenn ich nun g(x) partiell nach r ableite bleibt die 100 ja stehen?

h(x) nach r abgeleitet ergibt dann 5

Eingesetzt in die Quotientenregel : h(x) * g'(x) - g(x) * h'(x) / (h(x))2

also : 5 * 100 - 100 -5 / 2r + r^2 ????

Das ganze ergibt dann ja gar keinen Sinn mehr.

Was ich noch gefunden habe ist die Ableitung einer Potenzfunktion.

Das würde ja noch mit dem Lösungsweg übereinstimmen , da f(x) x^n f'(x) = n*x^n-1

mit dem -5(1+r)^-6 übereinstimmt.

Warum die 5 dann negativ ist weiß ich leider nicht... ich könnte mir nur vorstellen , das die dann dem zweiten Part der Quotientenregel entspricht ?