Linearkombination mit bestimmten Eigenschaften der Koeffizienten

Question

Hallo Forumsgemeinde,

ich habe eine Aufgabe gefunden, bei der ich gar keinen Anfang finde:

Gegeben seien die reellen Spaltenvektoren:

v1=(3,-2,3), v2=(1,2,4), v3=(1,-1,-1), v4=(2,0,1), v=(2,-1,0)

Prüfen Sie, ob eine Linearkombination von v1..v4 derart existiert, dass der Koeffizient von v2 gleich dem negierten Koeffizienten von v1 ist. Falls ja, geben Sie die Linearkombination an.

Wenn ich nun eine Linearkombination:

a*\( \begin{pmatrix} 3\\-2\\3 \end{pmatrix} \)+b*\( \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} \)+c*\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix} \)+d*\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

erstelle und löse, habe ich ja keinen Einfluss auf die Eigenschaften der Koeffizienten. Wie gewinne ich diesen Einfluss? Hat da die Unterbestimmtheit des LGS etwas damit zu tun? Das ein Koeffizient gleich einem Parameter ist?

Beste Grüße

Answer 1

Schreib -a statt b.

Du erhältst drei Koordinatengleichungen mit den Unbekannten a,c und d.

Oder du berechnest die Determinante.

Comments

Das ist so naheliegend. Ich wäre aber trotzdem nicht darauf gekommen.

Ich bin mit der Linearkombination zum Ziel gekommen:

a*(3, -2, 3)-a*(1, 2, 4)+b*(1, -1, -1)+c*(2, 0, 1)=(2, -1, 0)

<-> a*((3, -2, 3)-(1, 2, 4))+b*(1, -1, -1)+c*(2, 0, 1)=(2, -1, 0)

<-> a*(2, -4, -1)+b*(1, -1, -1)+c*(2, 0, 1)=(2, -1, 0)

Vielen Dank @MontyPython.

Beste Grüße

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Gern geschehen.

Danke für die Rückmeldung.

:-)