Berechne die Koeffizienten in der Darstellung von x als Linearkombination von v(1), v(2), v(3).

Question

Aufgabe:

Seien v⁽¹⁾, V⁽²⁾, V⁽³⁾ folgende Vektoren im ℝ³:

\( v^{(1)}=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right], \quad v^{(2)}=\left[\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right], \quad v^{(3)}=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right] \)

Berechne die Koeffizienten von

\( x=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] \) und \( y=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \)

in der Darstellung von x als Linearkombination von v⁽¹⁾, v⁽²⁾, v⁽³⁾.

Ich habe etwas Probleme mit der Aufgabenstellung, heisst das ich muss x mithilfe der Vektoren v⁽¹⁾, v⁽²⁾, v⁽³⁾ darstellen, also:

\( x=\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{6}}{3}\right) \cdot v^{(1)}+(\sqrt{2}) \cdot v^{(2)}+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot v^{(3)} \)

und das Gleiche für y, also

\( y=(0) \cdot v^{(1)}+(\sqrt{2}) \cdot v^{(2)}+(0) \cdot v^{(3)} \)

?

Ich bin etwas verwirrt, weil nur x in der Aufgabenstellung erwähnt wird.

Comments

Ich bin etwas verwirrt weil nur x in der Aufgabenstellung erwähnt wird.

Ich sehe in deinem zweiten Bild x und y.

"in der Darstellung von x" dient wohl eher der Verwirrung.

Answer 1

Ich nehme mal an das gilt auch für y. Also:

r·[- 1/√6, - 2/√6, 1/√6] + s·[1/√2, 0, 1/√2] + t·[- 1/√3, 1/√3, 1/√3] = [1, 2, 1]

--> r = - 2/3·√6 ∧ s = √2 ∧ t = 2/3·√3

r·[- 1/√6, - 2/√6, 1/√6] + s·[1/√2, 0, 1/√2] + t·[- 1/√3, 1/√3, 1/√3] = [1, 0, 1]

--> r = 0 ∧ s = √2 ∧ t = 0