Linearkombination prüfen.

Question

Text erkannt:

01:08 Mittwoch 22. Mai

MAHAS
MAHA2
HA1
Unbenannt.
HA9
T. \( _{6} \)
3: Gegeben seien die Vektoren \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3}=\left(\begin{array}{l}7 \\ 5 \\ 3\end{array}\right) \)
(a) Kann man den Vektor \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ -7\end{array}\right) \) als Linearkombination
\( \overrightarrow{\mathbf{a}}=\lambda_{1} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}+\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2}+\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3}, \)
wobei \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R} \), darstellen?
Wenn ja berechnen Sie \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \) !
(b) Sind die Vektoren \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}, \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2} \) und \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3} \) linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
\( \begin{array}{l} \lambda_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda_{2} \cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda_{3} \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -7 \end{array}\right) ? \\ \left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ 5 & -2 & 3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -7 \end{array}\right) \end{array} \)
\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 7 \\ -3 & 2 & 5 \\ +5 & -2 & 3\end{array}\right)=2 \cdot \operatorname{det}\binom{25}{-23}+-3 \cdot \operatorname{det}\binom{57}{-23}+5 \cdot \operatorname{et}\binom{57}{25} \)
\( \begin{array}{l} =2 \cdot(6+10)+(-3) \cdot(15+14)+5 \cdot(25-14) \\ =32-87+55 \\ =0 \end{array} \)
\( \rightarrow \) linear abhängig

Aufgabe:

Berechnen ob dieser Vektor die linearkombination sein kann

…

Problem/Ansatz:

Also, ich habe jetzt herausgefunden, dass ich den Gaus Algorithmus benutzen muss. Nun weiß ich nicht ganz genau, wie ich ihn anwenden muss. dass Die Vektoren Linear abhängig sind, habe ich bereits berechnet. Nur weiß ich nicht, wie es jetzt weitergeht.

Answer 1

Aloha :)

zu Teil a) Der Gauß-Algorithmus funktioniert so...

(1) Schreibe das Gleichungssystem als Tabelle.

(2) Folgende Rechenoperationen sind darin erlaubt:

     a) Du kannst eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren.

   b) Du kannst ein Vielfaches einer Zeile zu jeder anderen Zeile addieren.

     c) Du kannst ein Vielfaches einer Zeile von jeder andeen Zeile subtrahieren.

(3) Ziel ist es, mit den Schritten aus (2) so viele Nullen wie möglich in jeder Zeile zu erzeugen.

In dem konkreten Fall könnte das wie folgt aussehen:

$$\begin{array}{rrr|r|l}\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & = & \text{Rechenschritt}\\\hline2 & 5 & 7 & 2 &\\3 & 2 & 5 & -1 &-Z_1\\5 & -2 & 3 & -7 &-2\cdot Z_1\\\hline2 & 5 & 7 & 2 &-2\cdot Z_2\\1 & -3 & -2 & -3 &\\1 & -12 & -11 & -11 &-Z_2\\\hline0 & 11 & 11 & 8 &+Z_3\\1 & -3 & -2 & -3 &\\0 & -9 & -9 & -8 &\\\hline0 & 2 & 2 & 0 &\div2\\1 & -3 & -2 & -3 &+Z_1\\0 & -9 & -9 & -8 & \cdot(-1)\\\hline0 & 1 & 1 & 0 &\\1 & -1 & 0 & -3 &\\0 & 9 & 9 & 8 &-9\cdot Z_1\\\hline0 & 1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & 8\end{array}$$

In der letzten Zeile erhältst du eine nicht efüllbare Forderung:$$0\cdot\lambda_1+0\cdot\lambda_2+0\cdot\lambda_3=8$$Daher hat das Gleichungssystem keine Lösung.

zu Teil b) Hier hättest du keine Determinante gebraucht, denn man sieht sehr schnell, dass gilt:$$\vec b_1=\vec b_3-\vec b_2$$Also sind die 3 Vektoren linear abhängig.

Comments

vielen Dank. ich habe immer sehr starke probleme mit dem Gauß algorithmus, hätten sie tipps, wie man den anwenden kann?

Answer 2

a)

Du solltest sehen das b3 eine Linearkombination von b1 und b2 ist. Damit brauchst du nur prüfen, ob a eine Linearkombination aus b1 und b2 ist. Es gilt b3 = b1 + b2

r·[2, 3, 5] + s·[5, 2, -2] = [2, -1, -7] → Das gibt keine Lösung. Deswegen lässt sich a nicht als Linearkombination darstellen.

Nochmal als Rechnung

2r + 5s = 2
3r + 2s = -1
5r - 2s = -7

II + III

8·r = -8 --> r = -1

In Gleichung II einsetzen

3(-1) + 2s = -1 --> s = 1

Jetzt in Gleichung I einsetzen und prüfen.

2(-1) + 5(1) = 3 ≠ 2 → Damit gibt es keine Lösung.

b)

Ich habe unter a) bereits gezeigt, dass b1 bis b3 linear abhängig sind, weil b3 eine Linearkombination von b1 und b2 ist.

Weiterhin können sie auch nicht linear unabhängig sein, weil man sonst jeden Vektor des R3 als Linearkombination darstellen könnte.