Konvergente Folgen an und bn. Wenn an <= bn dann lim an <= lim bn.

Question

Aufgabe:

Wir haben zwei konvergente Folgen (a_n)_n, (b_n)_n ∈ ℝ^ℕ ∪ {-∞, +∞} und ein N∈ℕ, sodass für alle n≥N gilt: a_n ≤ b_n. Nun soll ich zeigen, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n ≤ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) b_n gilt.

Problem/Ansatz:

Die Aussage ist für mich sehr logisch, jedoch komme ich einfach nicht drauf, wie man das formal beweist... Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke im Voraus.

Answer 1

Für a,b ∈ℝ vielleicht so: Angenommen es wären a und b die Grenzwerte

und es wäre b<a. Dann wäre (a-b)/2 =: ε positiv.

Und es gäbe ein N, so dass für alle n>N gelten würde

\(   |a_n-a|<ε     \)   und  \(  |b_n-b|<ε    \)

<=>  \(  a-ε   \lt a_n \lt  a+ε    \)  und   \(  b-ε  \lt b_n \lt b+ε    \)

Mit (a-b)/2 =ε   also

<=>  \(  \frac{a+b}{2}  \lt a_n \lt \frac{3a-b}{2}    \)  und \(  \frac{3b-a}{2}    \lt b_n \lt    \frac{a+b}{2}  \)

Also gilt für diese n insbesondere

\(  \frac{a+b}{2}  \lt a_n     \)  und \(  b_n \lt   \frac{a+b}{2}  \)

Also \(  b_n \lt a_n   \) im Widerspruch zu   \(  b_n \ge a_n   \) für alle n.