Injektivität, Beispiel und Gegenbeispiel

Question

Hey,

kann mir mal bitte jemand Injektivität anhand eines Beispiels und Gegenbeispiels erklären? Ich bin so verwirrt

Answer 1

\(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2\) ist nicht injektiv, weil \(f(-1)=(1)\) ist.

\(g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto 2^x\) ist injektiv, weil

        wenn \(2^{x_1}=2^{x_2}\) ist, dann ist \(x_1 = x_2\).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Beispiel für eine injektive Funktion.$$f\colon\green{\mathbb R}\to\pink{\mathbb R}\,,\,f(x)=2x+1$$Die Funktion ist eine Gerade. Jedes Element der Zielmenge \(\red{\mathbb R}\) wird genau 1-mal getroffen

Beispiel für eine nicht-injektive Funktion.$$f\colon\green{\mathbb R}\to\pink{\mathbb R^{\ge0}}\,,\,f(x)=x^2$$Wegen \((-x)^2=x^2\) wird jedes Element der Zielmenge \(\pink{\mathbb R^{\ge0}}\) (außer der Null) zwei Mal getroffen. Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Es reicht, wenn du einen Zielwert angibst, der mehr als 1-mal getroffen wird. Hier z.B.:$$f(-1)=(-1)^2=1\quad\text{und}\quad f(1)=1^2=1$$Die beiden Argumente \((-1)\) und \(1\) treffen den Zielwert \(1\).

Comments

Danke für deine Antwort!

Also ich muss mithilfe von Einsetzen gucken, ob ein Zielwert mehr als 1-mal getroffen wird?

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Wenn du einen Zielwert finden kannst, der mehr als 1-mal getroffen wird, ist die Funktion nicht injektiv.

Wenn du zeigen möchtest, dass eine Funktion injektiv ist, nimm an, es gibt zwei Argumente \(a\) und \(b\), die dasselbe Ziel treffen, d.h. \(f(a)=f(b)\). Wenn du daraus folgern kannst, dass \(a=b\) sein muss, weißt du, dass es keine zwei verschiedenen(!) Elemente mit demselben Ziel gibt und die Funktion ist injektiv.

Wir nehmen mal das Beispiel von oben \(f(x)=2x+1\):$$f(a)=f(b)\implies 2a+1=2b+1\stackrel{(-1)}{\implies}2a=2b\stackrel{(\div2)}{\implies}a=b$$Daher ist die Fuktion injektiv.

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Achso, das hat sehr geholfen. Danke dir :)

Wie ist es dann mit surjektiv? Da bin ich auch wieder lost

Bijektiv ist doch einfach, dass die Funktion surjektiv und zugleich injektiv ist, oder? Da müsste ich also einfach nur beides nachweisen müssen

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Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Du musst ganz genau auf die Zielemenge achten.

Dazu ein Beispiel:$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,f(x)=x^2\quad;\quad g\colon\mathbb R\to\mathbb R^{\ge0}\,,\,g(x)=x^2$$

Die Funktion \(f\) ist nicht surjektiv. Ihre Zielmenge sind nämlich alle reellen Zahlen, also auch die negativen Zahlen. Da aber \(x^2\) immer \(\ge0\) ist, wird keine einzige negative Zahl getroffen.

Die Funktion \(g\) ist surjektiv. Ihre Zielmenge sind nur die positiven reellen Zahlen und die Null. Du kannst für jeden Wert \(y\in\mathbb R^{\ge0}\) einen Wert \(x=\sqrt{y}\) angeben, der ihn trifft.

Bijektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Wie du völlig richtig sagst, ist eine Funktion bijektiv, wenn sie surjektiv (mindestens 1 Treffer) und injektiv (höchstens 1 Treffer) zugleich ist.

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Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!! Ich habe das jetzt alles endlich verstanden