Wahrscheinlichkeit einer Differenzmenge (mein Ergebnis ist negativ) :(

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Situation eines n-mal geworfenen fairen Würfels mit 6 Seiten, wobei wir auf Ω die Laplace-Verteilung zugrunde legen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A ∩ B^∁ mit:

A = Es wird keine 6 geworfen

B = Es wird mind. eine 3 oder 5 geworfen

also:

A ∩ B^∁ = Es wird keine 6 und keine 3 und keine 5 geworfen

Problem/Ansatz:

Ich habe die Wahrscheinlichkeit von A bestimmt und von B bestimmt. Auch gilt ja:
A ∩ B^C = A \ B und damit P(A ∩ B^∁) = P(A \ B) = P(A) - P(B)

Dann habe ich diese Wahrscheinlichkeiten bestimmt mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(ω) = \( \frac{1}{card(\Omega)} \)

und kam auf P(A) = \( \frac{5^n}{6^n} \), P(B^C) = \( \frac{4^n}{6^n} \) woraus folgt: P(B) = P(Ω) - P(B^C) = \( \frac{6^n - 4^n}{6^n} \) = 1 -  \( \frac{4^n}{6^n} \)

Rechne ich jetzt allerdings P(A \ B), also P(A) - P(B) = \( \frac{4^n - 5^n}{6^n} \) - 1, was bereichts ab n = 3 einen negativen Wert ergibt, was für Wahrscheinlichkeiten ja nicht erlaubt ist. Insb. in der Unendlichkeit liegt der Grenzwert offendkundig bei -1 anstatt der geforderten 0.

Ich hab keine Ahnung, was ich damit anfangen soll und finde auch keinen Fehler. Vielleicht weiß jemand mehr?

Answer 1

Wir betrachten die Situation eines n-mal geworfenen fairen Würfels mit 6 Seiten, wobei wir auf Ω die Laplace-Verteilung zugrunde legen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A ∩ B^C mit:

A = Es wird keine 6 geworfen

B = Es wird mind. eine 3 oder 5 geworfen

B^C = Es wird weder eine 3 noch eine 5 geworfen.

P(A und B^C) = P(Es wird keine 3, 5 oder 6 geworfen) = (3/6)^n = (1/2)^n

Comments

Danke Mathecoach für deine Antwort, auch wenn sie leider nicht wirklich hilfreich war.

Das was du schreibst ist zwar logisch, aber ohne Begründung und reicht daher leider nicht.

Für alle die das hier lesen: So wie ich es getan habe:

A ∩ B^C = A \ B und damit P(A ∩ B^∁) = P(A \ B) = P(A) - P(B) das gilt nur, wenn B eine Teilmenge von A ist, was hier nicht zutrifft. Daher darf man so nicht rechnen.

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Nimm mal den 3 Fachen Würfelwurf und spiel das damit durch.

Ergebnismenge ist also Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^3

|Ω| = 216

Könntest du jetzt mal A, B und B^C beschreiben, inkl. der Anzahl der Elemente in den Mengen.

Answer 2

Hallo,

für n=2:

	1	2	3	4	5	6
1	A	A	AB	A	AB
2	A	A	AB	A	AB
3	AB	AB	AB	AB	AB	B
4	A	A	AB	A	AB
5	AB	AB	AB	AB	AB	B
6			B		B

P(A)=(⅚)² = 25/36=(⅚)^n

P(B)=20/36

und  P(B^C)=(4/6)²=16/36=(4/6)^n

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P(A∩B^C)=9/36=(3/6)^n= (½)^n

Aber P(A)-P(B)=5/36

=(5/6)^n -(1-(4/6)^n)

=(5/6)^n +(4/6)^n -1

=(5^n+4^n-6^n) / 6^n