Funktionsschar fa(x) = 3ax^2+4ax-4 auf Extrema untersuchen

Question

Untersuche die Funktionsschar auf Extrempunkte (wow i wusste gar nicht, dass eine Funktion weiblich sein kann ^_^)

fa(x)=3ax²+4ax-a

Lösung Extrema: Minimum im Punkt ( -0,6‾ | -2,3‾)

 

a ist doch kleiner als 0 also muss es doch ein hochpunkt sein? Wieso sagt die Lösung dann Tiefpunkt?

Answer 1

f(x) = 3·a·x^2 + 4·a·x - a

f'(x) = 6·a·x + 4·a

f''(x) = 6·a

Extrempunkte f'(x) = 0

6·a·x + 4·a = 0
x = - 2/3

f(- 2/3) = - 7/3·a

f''(- 2/3) = 6·a für a > 0 Tiefpunkt für a < 0 ein Hochpunkt

Comments

a ist doch -2,3‾ also kleiner als 0. Wieso ist das dann ein Hochpunkt?

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a ist ein Scharparameter. Wie kommst du darauf das a den Wert -2,3~ hat? 

Um es anders zu verdeutlichen 

f(x) = 3·a·x² + 4·a·x - a

ist eine Quadratische Funktion also eine Parabel. Der Öffnungsfaktor 3·a sagt uns ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Für a > 0 ist 3·a > 0 und damit ist die Parabel nach oben geöffnet. Damit ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt.

Ist a < 0 ist 3·a < 0 und damit ist die Parabel nach unten geöffnet. Damit ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt.

Man kann hier aber keine Aussage über das a treffen. Weil da momentan noch nichts angegeben ist. Zumindest nicht von dir.

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srry hab vergessen zu erwähnen dass unser Lehrer meinte für den Fall dass a≠0 ist.

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Ja. Also für beliebige a ungleich Null. Und dann würde man es so machen wie ich es oben vorgemacht habe. Du kennst den wert von a dann ja nicht.

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dazu hatten wir noch 2 andere funktionen. Anhand der AUfgabe von grad eben konnte man bei diesen beiden sehen ob sie ein hoch oder tiefpunkt haben aber i weiß nicht mehr wie.

f0,3‾(x)=-x²-1,3‾x+0,3‾

f2(x)=6x²+8x-2

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Bei Parabeln brauchst du dir nur den Wert vor dem x^2 ansehen. Das ist der Öffnungsfaktor. Ist er positiv haben wir einen Tiefpunkt, ist er negativ haben wir einen Hochpunkt.

Answer 2

f ( x ) = 3 a x ² + 4 a x - a

f ' ( x ) = 6 a x + 4 a = 0 <=> 6 a x = - 4 a <=> x = - 4 a / 6 a = - 4 / 6 = - 2  / 3

Nur an der Stelle x = - 2 / 3 kann ein Extremum vorliegen.

Die zweite Ableitung

f ' ' ( x ) = 6 a

ist für positive a positiv und für negative a negativ, also liegt bei x = - 2 / 3  ein Tiefpunkt vor, wenn a positiv ist und ein Hochpunkt, wenn a negativ ist.

Hier zwei Elemente der Schar, einmal mit positivem a, einmal mit negativem a:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3+*+%282%29+*+x+%C2%B2+%2B+4+*+%28+2+%29+x+-+%28+2+%29%2C3+*+%28-3%29+*+x+%C2%B2+%2B+4+*+%28+-3+%29+x+-+%28+-+3%29

 

a ist doch kleiner als 0 also muss es doch ein hochpunkt sein? Wieso sagt die Lösung dann Tiefpunkt?

EDIT:

Überarbeitung:

Grundsätzlich sagt nicht der Scharparameter a etwas über die Art des Extremums aus, sondern der Wert der zweiten Ableitung von f ( x ). Vorliegend allerdings ist dieser Wert, wie oben bereits ausgeführt, abhängig davon, ob a positiv oder negativ ist.

Der Funktionswert an der Stelle x = - 2 / 3 , also der Wert des Extremums, ist

f_a ( - 2 / 3 ) = 3 a ( - 2 / 3 ) ² + 4 a ( - 2 / 3 ) - a

= ( 12 / 9 ) a - ( 24 / 9 )  a - ( 9 / 9 ) a

= - ( 21 / 9 ) a

= - ( 7 / 3 ) a

Comments

srry hab vergessen zu erwähnen dass unser Lehrer meinte für den Fall dass a≠0 ist.

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@JotEs

http://3*(2)*x²+4*( 2 ) x - ( 2 ),3 * (-3) * x ² + 4 * ( -3 ) x - ( - 3)

 Ein Link ist das aber nicht.

E ( -2/3 l -7/4 * a )
für  a = 2 : ( -2/3 l -14/4 )
für a = -3 : ( -2/3 l 21/4 )

Zitat " Das Minimum liegt im Punkt ( x | y ) = ( - 2 / 3 | - 8 / 3 ) "

Wie kommt es zu - 8/3 ?

mfg Georg

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@ georgborn:

1) Link "repariert".

2) Wie kommt es zu - 8/3 ?

Ich hatte es leider furchtbar eilig und habe den Wert einfach abgeschrieben und mich dann auch noch vertippt :-(

Korrekt ist:

Der Wert des Extremums von f_a ist:

f _a ( - 2 / 3 ) ) = - ( 7 / 3 ) a

(Da hast auch du dich vertan. Rechne es noch einmal nach).

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@JotEs, da hast du recht. Der richtige Funktionswert ist -7/3 * a.
Steht beim Mathecoach auch schon. mfg Georg