Linearisierte Regression: Variablen berechnen

Question

Aufgabe:

Modelliere das Wachstum mit \( y \approx f(x)=d \cdot c^{x} \) (exponentielles Wachstum). Um c und d zu finden, benötigt man eigentlich Methoden der nichtlinearen Regression, da \( f(x) \) in \( a \) nicht linear ist. Durch Logarithmieren kann es aber auf lineare Regression zurückgefuhirt werden. Betrachte stattdessen \( g(x)=\log (f(x)) \) und berechne die Regressionsgerade log \( (y)=a x+b \). Berechne daraus \( c \) und \( d \).

Problem/Ansatz:

Hallo!

Kann mir hier jemand kurz und knackig erklären, wie ich hier c und d berechnen kann? a und b habe ich bereits schon berechnet.

Ich weiß, dass c = e^a und d = e^b ist, allerdings weiß ich nicht wie man genau darauf kommt.

Ich habe es mal durch Potenzgesetze probiert und bin nur bis hier hergekommen...

1.)  log(d*c^x) = ax+b

2.) d*c^x = 10^(ax+b)

3.) d * c^x = (10^a)^x * 10^b

....

Comments

@döschwo

Ich verstehe hier die Meldung nicht ganz? Was für Texte? o.O

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Der Text von dem Du stattdessen ein Bild in Mikroschrift eingestellt hast.

Answer 1

Grundsätzliches

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/276269

Regression CAS Exponential/Potenz-Function

einmal

\( \left\{ y = a_{0} \; e^{a_{1}} \; x, \ln\left(y \right) = \ln\left(a_{0} \; e^{a_{1}} \; x \right), \ln\left(y \right) = \ln\left(a_{0} \right) + a_{1} \; x \right\} \)

oder

\( \left\{ a_0 \; x^{a_1}, \ln\left(a_0 \; x^{a_1} \right), \ln\left(a_0 \right) + \ln\left(x^{a_1} \right)  ,   a_2 = \ln\left(a_0 \right), x = \ln\left(x \right), y = \ln\left(y \right) \right\} \)

Comments

... und das bedeutet jetzt genau?

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Das es gerne ein konkrete Frage sein darf, wo oder was unklar ist - wenn Dir eine Beispiellösung nicht taugt?

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Versteh mich nicht falsch, ich bin Dir auf jeden Fall dankbar für Deine Antwort, aber ich bin so extrem dämlich was Mathematik betrifft, daher brauche ich etwas konkretere Antworten... :D

Was genau möchtest Du mir mit deiner Lösung sagen?

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Ok, ein Versuch, ob ich's treffe?

Könnte es sein, das die Funktion lautet auf

f(x):=d c^x

ich hab das c als e gelesen in dem ziemlich winzigen Bildtext, dann

ln(f(x))=ln(d c^x)      | und nicht log()

===>

ln(y) = ln(d) + x * ln(c)

===>

b=ln(d),a=ln(c) ===> d=e^b, c=e^a

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Ahh, das sieht schon viel besser aus, vielen Dank! Und ja, tut mir leid, ich konnte das Bild irgendwie nicht größer machen.... :-)

==> Aber wieso nimmst du hier genau ln(y) und nicht log(y)?

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Und ja, die Funktion lautet übrigens: F(x) = d*c^x

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weil log10 keinen Spaß macht ;-)

und man mit der e-Funktion dagegen ein paar angenehme Eigenschaften gewinnt. Das ist mathematische Verfahrenweise ...

ln heißt nicht umsonst natürlicher Log....es gibt "eigentlich" nur den, alle anderen sind Umrechnungen, ein CAS würde die Verwendung (ich nehme an Du meinst)  log₁₀ darstellen als

ln(y) / ln(10) = (ln(d) + x ln(c)) / ln(10)

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Aso, ja dann ist es eigentlich logisch, meine Glühbirne leuchtet langsam wieder. Vielen Dank für die kleine "Stromversorgung". :D

Aber eine kleine Frage hätte ich noch, weil in der Angabe steht log(y) = ax + b, daher habe ich auch immer versucht mit log10 das ganze umzuformen, aber in dem Fall ist es ja hier nicht mehr relevant, oder?