Question

Wie berechne ich den Fehler für das Volumen eines Hohlzylinders?

Radius außen - Radius innen

V= π*h * ( r_a² - r¡²) = 8,16cm³
d= 2,039 cm
r_a = d/2 = 1,0195 cm
r¡ = r_a - u = 0,4195 cm
h= 2.539 cm

u=0,6 cm

Ich habe bereits die absoluten und relativen fehler ausgerechnet für

∆d = 7*10^(-4)           0,03%
∆h= 7*10^(-4)            0,02%
∆r_a= 3,5*10^(-4)        0,03%
∆r¡= 0,01                    2,4%
∆u = 0,01                    1,6

ich weiß nicht ob es richtig ist aber ich komme auf jeden Fall nicht weiter

Comments

Welche Größen sind den gemessen worden? Mir scheint, es sind \(d\), \(u\) und \(h\) gemessen worden, alles andere ist berechnet, richtig? Warum hat \(u\) keine Einheit?

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Genau h, u und d habe ich gemessen, den Rest berechnet

d= 2,039cm & h =2,539cm wurden mit einer bügelmessschraube gemessen und u=0, 6cm mit einem messschieber

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Alles klar, damit kann man arbeiten ;)

Answer 1

Aloha :)

Messgrößen sind:\(\quad d\pm\delta d\;;\;u\pm\delta u\;;\;h\pm\delta h\)

Diese gehen in das Volumen \(V\) wie folgt ein:$$V=\pi h\left(r_a^2-r_i^2\right)=\pi h\left(\left(\frac{d}{2}\right)^2-\left(\frac d2-u\right)^2\right)=\pi h\left(\left(\frac d2\right)^2-\left(\left(\frac d2\right)^2-du+u^2\right)\right)$$$$V=\pi h(du-u^2)$$

Nach der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung gilt:$$(\delta V)^2=\left(\frac{\partial V}{\partial h}\cdot\delta h\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial u}\cdot\delta u\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial d}\cdot\delta d\right)^2$$$$\phantom{(\delta V)^2}=\left(\pi(du-u^2)\cdot\delta h\right)^2+\left(\pi h(d-2u)\cdot\delta u\right)^2+\left(\pi h u\cdot\delta d\right)^2$$

Darin kannst du nun deine Werte eintragen und am Ende die Wurzel ziehen.

Comments

Ich habe meine vorherige Antwort überarbeitet, nachdem klar war, was die Messgrößen sind.

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Danke erstmal dafür!

Wenn ich die Werte eintrage, bekomme ich als absoluten Fehler 0,048 und als relativen Fehler 0,6%

Ich habe die lineare Fehlerfortpflanzung mit Beträgen an der Uni gelernt. Weißt du zufällig auch wie das damit funktioniert?

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*Der absolute Fehler wäre 0,05

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Linear ist einacher, überschätzt den realen Fehler aber in der Regel und wird daher in der Messtechnik nicht verwendet:

$$\delta V=\left|\frac{\partial V}{\partial h}\cdot\delta h\right|+\left|\frac{\partial V}{\partial u}\cdot\delta u\right|+\left|\frac{\partial V}{\partial d}\cdot\delta d\right|$$$$\phantom{\delta V}=\left|\pi(du-u^2)\cdot\delta h\right|+\left|\pi h(d-2u)\cdot\delta u\right|+\left|\pi h u\cdot\delta d\right|$$