Gleichung umformen (Elektrotechnik)

Question

Berechnung:

\( \Delta Q=\left(\frac{1}{d-\Delta x}-\frac{1}{d}\right) \cdot \varepsilon_{0} \cdot A \cdot U \)
\( \Delta Q=\left(\frac{d-(d-\Delta x)}{(d-\Delta x) \cdot d}\right) \cdot \varepsilon_{0} \cdot A \cdot U \)
\( \Delta Q=\left(\frac{\Delta x}{d^{2}-d \cdot \Delta x}\right) \cdot \varepsilon_{0} \cdot A \cdot U \)
\( \Delta Q \approx\left(\frac{\Delta x}{d^{2}}\right) \cdot \varepsilon_{0} \cdot A \cdot U \)

1.)  Wie komme ich von der 1. Zeile auf die 2. Zeile?

2.)  Wie komme ich von der 3. Zeile auf die 4. Zeile?

Answer 1

1) Zeile 1 -> Zeile 2:

der erste Bruch wurde mit d , der zweite mit d-Δx erweitert. Dann wurden beide Zähler auf den dadurch entstandenen gemeinsamen Nenner geschrieben.

2) Zeile 3 -> Zeile 4

Das ist keine Äquivalenzumformung.

Ist vielleicht der Wert von d * Δx gegenüber dem von d² so klein, dass er als verschwindend angenommen werden konnte und daher nicht mehr berücksichtigt werden musste?
Gerade Ingenieure machen so etwa sehr gerne ... :-)

Comments

Zu 1: Wieso muss ich denn den ersten Bruch auch erweitern? Hauptnenner wäre doch d-Δx ? Und dann reicht es doch nur den 2. Bruch zu erweitern?

Zu 2: Haha, ja! In der Aufgabenstellung steht : Δx << d 

Demnach wäre Δx*d = fast 0 . 

Das erklärt so einiges. 

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Zu 1: Wieso muss ich denn den ersten Bruch auch erweitern? Hauptnenner wäre doch d-Δx ? Und dann reicht es doch nur den 2. Bruch zu erweitern?

Es gibt zweifellos andere Möglichkeiten, die Brüche zusammenzufassen.

In der zweiten Zeile aber ist als gemeinsamer Nenner ( d - Δ x ) * d verwendet worden - und das erreicht man so , wie ich es gezeigt habe.

Wenn du nur den zweiten Bruch erweiterst, dann sind die Nenner nicht identisch. Probier's mal aus.

 

Demnach wäre Δx*d = fast 0 .

Nicht unbedingt fast 0, aber jedenfalls ist dann d * Δx deutlich kleiner als d * d = d ² und kann diesem gegenüber vernachlässigt werden.

Answer 2

Von der 1. zur 2. Zeile werden beide Brüche auf den Hauptnenner erweitert um so einen Bruch daraus zu machen.

Von Zeile 3. nach 4. ist ja keine Äquivalenzumformung gemacht worden. Man nähert nur. Man kann offenbar den Term d * delta x gegenüber d^2 vernachlässigen.