Was ist die Summe von (1+1)?

Question

Aufgabe:

Bsp:.. \( \sum \limits_{i=1}^{5} i=1+2+3+4+5=15 \)

Formulieren Sie in den folgenden Teilaufgaben die Summen bzw. Produkte wie oben gezeigt aus und geben sie das Ergebnis an.

d) \( \quad \sum \limits_{1 \leqslant \alpha<\beta-1 \leqslant 5} 1+1 \)

Zeichnen Sie in das untenstehende Koordinatensystem die Menge ein, über die in Teilaufgabe d) summiert wird.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist hier die letzte Aufgabe (d). Haben Alpha und Beta in dem Fall irgendetwas mit Winkeln zu tun, nein oder? Ich verstehe leider gar nicht wie ich vorgehen soll, um es zu lösen und erst recht nicht, wie ich die Menge in ein Koordinatensystem eintragen kann.

Ich hatte jemanden bereits um Rat geben und mir wurde gesagt ich „muss alle Möglichkeiten, die alpha und beta sein können aufschreiben und dann ist die Anzahl an Möglichkeiten die Anzahl wie oft ich 2 summieren muss“. Aber woher kommt die 2? Und ist dieser Ansatz überhaupt korrekt?

(Kein Test, kein Lehrbuchinhalt, „nur“ Übungsaufgaben, welche ich trotzdem verstehen möchte)

Vielen Dank im Voraus für Hilfe!

Comments

Aber woher kommt die 2?

Die kommt vom 1 + 1 rechts vom Sigma, wobei dann aber die Klammern fehlen würden.

Answer 1

Hallo,

das Bild müsste so aussehen:

Es sind also 10 Punkte.

Die 1 muss zehnmal addiert werden und die zweite 1 wird am Schluss addiert.

d) \( \sum \limits_{1 \leqslant \alpha<\beta-1 \leqslant 5} 1+1 \\=\left(\sum \limits_{1 \leqslant \alpha<\beta-1 \leqslant 5} 1\right)+1\\=(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)+1\\=11\)

--> Die Summe beträgt 11.

Comments

Warum muss die 1 10x addiert werden mit der zweiten 1 am Schluss? Tut mir leid, ich komme nicht mit. Und woher kommt die große Klammer in deinem zweiten Schritt?

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Hallo,

das Summenzeichen bezieht sich nur auf die 1 direkt nach dem Zeichen. Das habe ich mit der Klammer deutlich machen wollen.

In der Abbildung siehst du 10 Punkte. Sie gehören zu den Zahlenpaaren aus alpha und beta, die die Ungleichung erfüllen.

1≤alpha<beta-1≤5

Wenn alpha=1 ist, muss beta-1 mindestens 2 sein.

beta-1=2 → beta=3

Der höchste Wert für beta-1 ist 5, also beta =6.

D.h. Für alpha=1 kann beta 3; 4; 5 oder 6 sein.

Das ergibt die unteren vier Punkte. Die darüber liegenden ergeben sich für alpha=2 bis alpha=4. Für alpha=5 gibt es keinen passenden Wert für beta.

Und da es 10 Zahlenpaare gibt, die die Bedingung erfüllen, muss die 1 zehnmal addiert werden.

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Vielen vielen Dank, ich habe es jetzt verstanden!

Answer 2

a)

∏ (l = 1 bis 4) (l + 1) = (1 + 1)·(2 + 1)·(3 + 1)·(4 + 1) = 2·3·4·5 = 120

b)

∏ (k = 2 bis 7) (k² - 1) = (2² - 1)·(3² - 1)·(4² - 1)·(5² - 1)·(6² - 1)·(7² - 1) = 3·8·15·24·35·48 = 14515200

c)

∑ (i = -2 bis 3) (1 - i)² = (1 - (-2))² + (1 - (-1))² + (1 - 0)² + (1 - 1)² + (1 - 2)² + (1 - 3)² = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 19

d)

(α, β) ∈ {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 6)}

∑ (1 ≤ α < β - 1 ≤ 5) 1 + 1 = (∑ (1 ≤ α < β - 1 ≤ 5) 1) + 1 = 10 + 1 = 11

Comments

Wunderprächtig, ist aber leider so gar nicht das, was gefragt worden ist.

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Danke, meinen Fehler bei der Rechnung von c habe ich auch gesehen. Aber noch eine Frage. Ich sehe ein, dass es 10 Kombinationsmöglichkeiten mit einer wahren Aussage gibt, aber warum sind es jetzt 11? Und warum addieren wir die zweite 1 am Ende?

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Zu einer Summe ∑ gehören Produkte, Potenzen und alles, was sonst Vorrang vor Summen hat. Ein Plus oder Minus gehört allerdings nicht mehr in die Summe, sondern wird extra gerechnet.

Will man eine Summe oder Differenz mit dem Summenzeichen aufsummieren, muss man wie in a) oder b) eine Klammer setzen.

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Ok vielen Dank jetzt verstehe ich warum die 1 am Ende addiert wird, aber warum ersetzen wir die erste eins mit der 10? Ich weiß woher sie kommt, aber warum ersetzen wir sie?

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Die Summe durchläuft doch alle 10 Möglichkeiten für Alpha und Beta die ich notiert habe und für jede Möglichkeit wird 1 addiert.