Zwischenwertsatz (Analysis II)

Question

Aufgabe:

Es sei I ⊆ R und f : I → R eine Funktion. Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass für f der Zwischenwertsatz nicht gelten muss, wenn f nicht stetig oder I kein Intervall ist.

Problem/Ansatz:

Das Beispiel für f nicht stetig ist ja eigentlich recht simple. Beispiel I ⊆ R und f=1/x.

Der Zwischenwertsatz besagt ja, dass in dem Intervall I = [a,b] eine Funktion f: I → R alle Werte zwischen f(a) und f(b) annimmt. Die Funktion f = 1/x hat jedoch für x = 0 eine Lücke im Definitionsbereich, so dass für f (0) kein Wert existiert.

Leider fällt mir gerade kein Beispiel ein, wo I kein Intervall ist und der Zwischenwertsatz nicht gilt.

Hätte jemand von euch eine Idee? Schon einmal danke für eure Antworten.

Answer 1

Der Zwischenwertsatz besagt ja, dass in dem Intervall I = [a,b] eine Funktion f: I → R alle Werte zwischen f(a) und f(b) annimmt. Die Funktion f = 1/x hat jedoch für x = 0 eine Lücke im Definitionsbereich, so dass für f (0) kein Wert existiert.

Also ist f nicht auf ganz I definiert, also KEIN Gegenbeispiel.

Ein passendes Gegenbeispiel wäre etwa  ( f soll ja nicht stetig sein.)

f : [0;2] ---> ℝ

     f(x) =   x   für x≤1

    f(x) =  x+2 für x>1

Dann ist f(0)=0  und f(2)=4 aber der Zwischenwert 2 kommt nicht als

Funktionswert vor.

Entsprechend kannst du definieren

f : [0;2] ∪ [4;5]   ---> ℝ  mit f(x)=x

da ist f(2)=2  und f(4)=4  aber der Zwischenwert 3  kommt nicht als Funktionswert vor.