Aloha :)
Die Behauptung lautet:$$S_n\coloneqq1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\quad;\quad n\in\mathbb N$$
Induktionsverankerung bei \(n=1\):
$$S_1=\frac{1\cdot(2\cdot1-1)\cdot(2\cdot1+1)}{3}=\frac{1\cdot1\cdot3}{3}=1\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
Hier hast du in deinem Ansatz die Klammern ausmultiplziert. Das würde ich nicht empfehlen, da du das Ergebnis ja wieder in Linearfaktoren zerlegen musst, um die Gleichheit zu \(S_{n+1}\) deutlich zu machen.
Mein Vorschlag sieht so aus:$$S_{\pink{n+1}}=S_n+(2\pink{(n+1)}-1)^2=S_n+(2n+1)^2$$Jetzt setzen wir schon den Audruck für \(S_n\) als Induktionsvorausstzung ein:$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+\green{(2n+1)^2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+\green{\frac{3(2n+1)(2n+1)}{3}}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{n(2n-1)\red{(2n+1)}+3(2n+1)\red{(2n+1)}}{3}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot(n(2n-1)+3(2n+1))}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot((2n^2\blue{-n})+(\blue{6n}+3))}{3}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot((2n^2\blue{+3n})+(\blue{2n}+3))}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot(n\cdot\green{(2n+3)}+1\cdot\green{(2n+3)})}{3}=\frac{\red{(2n+1)}(n+1)\green{(2n+3)}}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{(n+1)\red{(2n+1)}\green{(2n+3)}}{3}=\frac{\pink{(n+1)}\cdot(2\pink{(n+1)}-1)\cdot(2\pink{(n+1)}+1)}{3}\quad\checkmark$$
