Induktionsbeweis, zwei natürliche Zahlen: Macht es einen Unterschied mit welcher ich die Induktion durchführe?

Question

Wenn n,k∈ℕ sind und ich z.B. per Induktion (x^n)^k=x^{nk} beweisen möchte, kann ich dann den Induktionsbeweis auch für k machen?

Also Induktionsanfang: k=0 etc... und dann (x^n)^{k+1}=(x)^{n*(k+1)}  zeigen?  Oder muss ich immer n "benutzen"?

Answer 1

Grundsätzlich kann man die Gültigkeit einer Aussage, die für alle natürlichen Zahlen gelten soll, auch dann beweisen, wenn diese Zahlen allgemein mit einem anderen Buchstaben als n bezeichnet sind (hier k). Wegen des Kommutativgesetztes der Multiplikation ist hier ein Beweis über alle n gleichwertig zu einem Beweis über alle k (und vermutlich auch nicht schwerer?).