Zunächst mal solltest du dich von deinem Spezialfall verabschieden und alle 3 Kreise verschieden groß wählen.
Wenn du auf dem Umkreis eines der gleichseitigen Dreiecke einen vierten Punkt festlegt, der im Inneren des gegebenen Dreiecks liegt, bilden diese 4 Punkte ein Sehnenviereck. Da sich dort gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen, muss der Innenwinkel an diesem 4. Punkt 120° sein.
Wenn du jetzt von zwei der drei gleichseitigen Dreiecke die Umkreise zeichnest, schneiden sich die Umkreise, und im Schnittpunkt entstehen dann zwei aneinandergrenzende Winkel mit je 120°.
Dabei entsteht übrigens noch ein "Restwinkel" von ebenfalls 120°. Weise nun nach, dass der Umkreis des dritten gleichseitigen Dreiecks den Schnittpunkt der ersten beiden Umkreise enthalten MUSS.
