Zeigen Sie dass für alle n ∈ ℕ gilt:

Question

Aufgabe:

(Vollständige Induktion)

Zeigen Sie dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \).
Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Für \(n=1\) gilt die Gleichheit:$$S_1=\sum\limits_{k=1}^1\frac{1}{k^2}=1\le2-\frac{1}{1}\quad\checkmark$$

Im Induktionsschritt von \(n\) auf \(n+1\) haben wir nun:$$S_{n+1}=\pink{S_n}+\frac{1}{(n+1)^2}\le\pink{2-\frac1n}+\frac{1}{(n+1)^2}<\pink{2-\frac1n}+\frac{1}{n(n+1)}$$Wir haben zur Abschätzung den Nenner des schwarzen Bruches etwas verkleinert, wodiurch der Bruch selbst größer wird. Damit ist nun weiter:$$\phantom{S_{n+1}}=\pink{2-\frac1n}+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)=\pink2-\frac{1}{1+n}\quad\checkmark$$

Answer 2

Na, dann fange mal an mit dem Induktionsanfang.

Comments

Text erkannt:

IA. Far \( n=1 \)
1. \( \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{1}{1}=1 \leq z-1=1 \)
IV: \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \)
Is \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}} \)
\( \frac{\leqslant}{\frac{1}{(n+1)^{2}}}+2-\frac{1}{n} \leq \frac{12}{(n+1)^{2}-\frac{1}{n+1}} \)

Text erkannt:

IA. Far \( n=1 \)
1. \( \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{1}{1}=1 \leq z-1=1 \)
IV: \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \)
Is \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}} \)
\( \frac{\leqslant}{\frac{1}{(n+1)^{2}}}+2-\frac{1}{n} \leq \frac{12}{(n+1)^{2}-\frac{1}{n+1}} \)

Ich hoffe man kann das Foto erkennen, keine Ahnung wieso der Text drumherum erscheint.

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Text erkannt:

I1. Far \( n=1 \)
1. \( \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{1}{1}=1 \leq z-1=1 \)
IV: \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \)
Is \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}} \)
\( \frac{1}{\pi} \frac{1}{(n+1)^{2}}+2-\frac{1}{n} \leq x \frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{1}{n+1} \)