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2. Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit \( \{\omega\} \in \mathcal{A} \) für alle \( \omega \in \Omega \). Zeigen Sie, dass \( P\{\omega\}> \) 0 für höchstens abzählbar viele \( \omega \in \Omega \) gelten kann.
Hinweis: Wie viele \( \omega \in \Omega \) mit \( P\{\omega\} \geq 1 / n \) kann es höchstens geben?
(3 Punkte)
Das ist die vollständige Aufgabe. Und unser Professor hat immer gesagt, dass dieses "P" die Potenzmenge darstellt, die ja eigentlich aus allen möglichen Mengen inklusive der leeren Menge und Ω besteht. Da das kleine Omega hier in geschwungenen Klammern ist, besteht es ja aus einer Menge. So wie ich mir das denke, ist es folgendermaßen:
Angenommen Ω:= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und ich soll zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit der Menge w ≥ \( \frac{1}{n} \) ist. Dann ist die kleinste Wahrscheinlichkeit, die w annehmen kann ja die, wenn w aus nur einem Element besteht oder aus mehrmals dem gleichen Element z.B. w:={1} oder w:={1,1,1,1,}={1}. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann ja \( \frac{1}{10} \). Und aus je mehr Elementen w besteht, desto höher ist dann ja auch die Wahrscheinlichkeit P({w}). Beispielsweise w:={1,2,3} ⇒ P({w})= \( \frac{3}{10} \) und so weiter. Da w ja nicht aus keinem Element bestehen kann, da w ansonsten gleich der leeren Menge wäre, muss die P({w})>0 sein. Ich kann das nur nicht vernünftig mathematisch zeigen (wenn das überhaupt richtig ist). Tut mir echt leid, dass ich vielleicht sehr unverständlich bin.
Und danke für die Rückmeldung!
