Ist μ dann σ-endlich?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie ℝ mit B(ℝ) und ein Maß μ mit μ(R)=∞ und μ((a,b))=b−a für a<b. Ist μ dann σ-endlich?

Problem/Ansatz:

Also ich würde sagen, dass die Aussage falsch ist, da μ(ℝ) nicht kleiner unendlich ist.

Ist das so korrekt?

Answer 1

Hallo,

setze \(A_n = (-n,n)\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),  n\in\mathbb{N}\). Dann ist \(\mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n \) und \(\mu(A_n) = 2n < \infty \forall n \in\mathbb{N}. \) Also \(\mu\) \(\sigma\)-endlich.