Zeige, dass B:={f-1(A) | A∈Λ} eine σ-Algebra ist.

Question

Sei Λ eine σ-Algebra auf X, sei Y eine Menge und f: Y→X.

Zeige, dass B:={f^-1(A) | A∈Λ} eine σ-Algebra ist.

Comments

Welche Eigenschaften muss denn eine Sigma-Algebra haben?

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A ist Sigma-Algebra auf X, wenn

1) X:= (∪_(a∈A) a)∈A

2) ∀a∈A:(X\a)∈A

3) ∀a∈(ℕ→A):(∪_(i∈ℕ) A_i)∈A

Answer 1

Wir nehmen also \(\mathcal{B}:=\{f^{-1}(A)\mid A \in \mathcal{A}\}\) und behaupten, dies sei eine Sigma-Algebra auf Y.

1. \(Y=f^{-1}(X) \in \mathcal{B}\), weil \(X \in \mathcal{A}\).

2. Wenn \(B \in \mathcal{B}\), also \(B=f^{-1}(A), A \in \mathcal{A}\). Dann folgt:

$$X \setminus A \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(X \setminus A)=(\ast)Y \setminus f^{-1}(A)=Y \setminus B \in \mathcal{B}$$

3. Wenn für \(i \in \N\) \(B_i=f^{-1}(A_i) \in \mathcal{B}\) ist, dann folgt:

$$\bigcup_{i \in \N}A_i \in \mathcal{A}\Rightarrow f^{-1}(\bigcup_{i \in \N}A_i)=(\ast) \bigcup_{i \in \N}f^{-1}(A_i)=\bigcup_{i \in \N}B_i \in \mathcal{B} $$

An den mit \((\ast)\) markierten Stellen werden elementare Rechenregeln für Mengen benutzt. Die sollten bekannt sein, oder müssen nochmal überprüft werden.