Beweisen, dass es sich um eine σ-Algebra handelt

Question

Aufgabe:

Ich muss zeigen, dass A ⊆ P(Ω) genau dann eine σ.Algebra ist, wenn gilt

Ω ∈ A

wenn B ∈ A, dann auch für B^c ∈ A

Wenn B_n ∈ A für n ∈ ℕ dann auch für ∩^∝_n=1 B_n

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich dabei vorgehen kann.

Comments

Hallo,

welche Eigenschaft wäre noch zu zeigen?
Informiere Dich über die De-Morganschen Regeln in der Mengenlehre und benutze sie.

Gruß

Answer 1

Hallo,

wenn \( \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega) \) eine \(\sigma\)-Algebra auf \( \Omega \) ist, gilt zunächst wegen der Definition \( \Omega \in \mathcal{A} \) und für \( B \in \mathcal{A}\) auch \( B^C\in\mathcal{A} \). Weiter gilt für \( (B_j)_{j\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A} \)

\( \bigcap_{j \in \mathbb{N}} B_j = \bigcap_{j \in \mathbb{N}} (B_j^C)^C =  \biggl(\underbrace{\bigcup_{j \in \mathbb{N}}{B_j^C}}_{\in\mathcal{A}} \biggr)^C  \in \mathcal{A} \)

Ist \( \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega) \) mit oben genannten Eigenschaften, so folgt analog, dass \(\mathcal{A} \) eine \(\sigma\)-Algebra auf \( \Omega \) ist.