Aufgabe:
Es sei (E, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Zwei Mengensysteme B,C⊂A heißen unabhängig, falls P(b∩c)=P(b)*P(c) für alle b∈B und c∈C gilt. (B ist die Borelmengen und C die offene Menge)
Wir sollen jetzt für B=σ(G) und C=σ(H), mit G und H durchschnittstabile Erzeuger zeigen, dass:
B, C sind unabhängig ⇔P(g∩h)=P(g)*P(h) für alle g∈G und h∈H gilt.
Problem/Ansatz:
Die Hinrichtung gilt ja, weil G in σ(G) und H in σ(H) enthalten ist. Weiß einer wie ich die Rückrichtung zeigen kann, weil dann muss σ(G)=G und σ(H)=H gelten oder nicht? Dafür müsste ich zeigen, dass G und H Sigma-Algebren sind, aber da scheitert es schon daran, dass E in G bzw H liegt. Kann mir jemand weiterhelfen?
