Mathematische Beweise schwer zu verstehen

Question

Also, ich habe leider immernoch das Problem, dass ich mathematische Beweise nicht verstehe. Für mich fühlt sich das schwachsinnig an. Man nimmt eine Annahme, formt die ein bisschen um und sagt dann, dass man es nun bewiesen hat.

Hier mal ein konkretes Beispiel vom Professor:

Zu Beweisen: Für alle z ∈ ℤ gilt: z ungerade ⇒ z² ungerade

z ungerade ⇒ ∃ x ∈ ℤ mit z = 2x + 1 (Definition von ungerade)

⇒ ∃ x ∈ ℤ : z²   =   (2x + 1)²   =   4x² + 4x + 1   =   2(2x² + 2) + 1

⇒ z² ungerade (Definition von ungerade)

So, wieso ist 2(2x² + 2) + 1 nun ausgerechnet ausreichend um zu beweisen, dass es ungerade ist? Was stoppt einen davon nun nach einen Beweis dafür zu fragen, dass 2(2x² + 2) + 1 immer ungerade ist? Und wieso reicht hier ein Existenzquantor aus um zu beweisen, dass es für alle z gilt?

Answer 1

Hallo,

Was stoppt einen davon nun nach einen Beweis dafür zu fragen, dass 2(2x^2 + 2) + 1 immer ungerade ist?

\( 2 \cdot (2x^2+2) \) ist durch 2 teilbar und damit gerade. Dann ist natürlich \( 2 \cdot (2x^2+2) + 1 \) ungerade.

Und wieso reicht hier ein Existenzquantor aus um zu beweisen, dass es für alle z gilt?

Es gilt für alle \( z\in\mathbb{Z}\) weil \( z\in\mathbb{Z}\) anfangs beliebig gewählt wurde. Zu diesem *beliebigen* z wurde dann ein x gefunden, ... Das kann ich so ja dann (wie gezeigt wurde) für jedes \( z\in\mathbb{Z}\) machen.

Comments

Vielen Dank! Also der Beweis gilt für alle z, weil man es abstrakter gehalten hat und keine spezielle Zahl (Konstante) für z eingesetzt hat?

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genau, weil \(z\in\mathbb{Z}\) beliebig war.