Wie sind diese Formeln und Beweise zu verstehen (Induktion)?

Question

Wir haben gerade mit Induktion und Rekusion begonnen. Als Einstieg schauen wir uns die Strukturen der natürlichen Zahlen an.

1. Hierzu besprachen wir, dass jede natürliche Zahl Nachfolger von höchstens einer natürlichen Zahl ist:

∀n,m ∈ ℕ (n + 1 = m + 1 -> n = m)

Diese Formel verstehe ich nicht ganz, beziehungsweise, wie man sie zu interpretieren hat. Kann mir bitte jemand ein Beispiel sagen?

2. Wir beweisen, dass alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 für beliebige reelle r > -1 folgende Eingeschaft haben:

(1 + r)ⁿ > 1 + nr

Hierzu zuerst die Verankerung:

Da (1 + r)² = 1 + 2r + r² > 1 + 2r, gilt die Verankerung.

Dann der Schritt (n -> n + 1):

(1 + r)^{n + 1} = (1 + r)ⁿ (1 + r) > (1 + nr) (1 + r) = 1 + nr + r + nr² > 1 + (n+1)r

Mir ist in diesem Beweis nicht klar, wie wir auf nr² kommen. Kann bitte jemand helfen?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Verständnis der Formel: Für jede natürliche Zahl ist eindeutige Nachfolgerschaft gegeben

Die Aussage \(∀n,m ∈ ℕ\,(n + 1 = m + 1 → n = m)\) bedeutet, dass, wenn zwei natürliche Zahlen \(n\) und \(m\) denselben Nachfolger haben, sie zwangsläufig gleich sein müssen. Das ist eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Zahlen, nämlich ihre Eindeutigkeit. Sie stellt sicher, dass jede Zahl genau einen direkten Vorgänger hat (außer der Zahl 0, die keinen Vorgänger in den natürlichen Zahlen hat).

Beispiel: Wenn wir sagen, dass \(n + 1 = 5\) und \(m + 1 = 5\), dann müssen \(n\) und \(m\) tatsächlich gleich 4 sein, da nur 4 der direkte Vorgänger von 5 ist. Dies folgt direkt aus der Umformung der Aussage \(n + 1 = m + 1\), die zeigt, dass \(n = m\), wenn ihre Nachfolger gleich sind.

Beweis durch Induktion der Ungleichung

Die Ungleichung \( (1 + r)^n > 1 + nr \) für alle \(n \geq 2\) und für alle reellen \(r > -1\) wird durch mathematische Induktion bewiesen.

Verankerung: Der Fall \(n = 2\) dient als Grundlage. Hier sieht man, dass \((1 + r)^2 = 1 + 2r + r^2 > 1 + 2r\), weil \(r^2 > 0\) für alle \(r \neq 0\). Für \(r = 0\), ist die Ungleichung ebenfalls erfüllt, da beide Seiten gleich sind. Dies ist die Verankerung, die zeigt, dass die Eigenschaft für \(n = 2\) wahr ist.

Induktionsschritt (von n zu n + 1): Wir nehmen an, dass \((1 + r)^n > 1 + nr\) bereits bewiesen ist. Nun müssen wir zeigen, dass dies auch für \(n + 1\) gilt.

Wir sehen uns den Term \((1 + r)^{n + 1}\) an. Dieser lässt sich schreiben als:
\( (1 + r)^{n + 1} = (1 + r)^n (1 + r) \)

Unter Anwendung der Induktionsannahme erhalten wir:
\( (1 + r)^n (1 + r) > (1 + nr)(1 + r) \)

Dies ergibt (nach Ausmultiplizieren):
\( 1 + nr + r + nrr > 1 + r + nr \)

Hier scheint ein Fehler in Ihrer Anfrage vorzuliegen. Die richtige Entwicklung der Ungleichung nach dem Ausmultiplizieren sollte sein:
\( 1 + nr + r + nrr > 1 + (n + 1)r \)

Der Fehler tritt auf, weil es zu einem Missverständnis kam: die Term \(nr^2\) im Schritt scheint dort falsch interpretiert oder ein Tippfehler zu sein; eigentlich sollte der Ausdruck korrekterweise \(nrr\) oder aber noch besser, um Missverständnisse zu vermeiden, als Überlegung zur Ungleichung \(nr + r = (n + 1)r\) integriert werden, was zeigt, dass der Induktionsschritt im Kern darin besteht, die ursprüngliche Ungleichung mit \( (1 + r) \) zu multiplizieren und die Gültigkeit für \( n + 1 \) aufzuzeigen.

Zusammenfassung: Der Schlüssel beim Induktionsschritt liegt darin, die Annahme, dass die Ungleichung für ein bestimmtes \(n\) gilt, zu nutzen, um zu beweisen, dass sie auch für \(n + 1\) gilt. Der Fehler in der Fragestellung bei der Erwähnung von \(nr^2\) könnte durch eine Verwechslung oder einen Tippfehler entstanden sein. Die Richtigstellung zeigt, dass der Fokus vielmehr auf der Nutzung der Induktionshypothese und der daraus folgenden multiplikativen Erweiterung zur Erreichung der gewünschten Ungleichung für \(n + 1\) liegt.