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Euler's Formel und die Beziehung zu cos(z) und sin(z)
Um die Gleichheit zwischen \(\exp(iz)\) und \(\cos(z)\) bzw. \(\sin(z)\) zu zeigen, wird oft die Euler'sche Formel verwendet. Die Euler'sche Formel lautet:
\(
\exp(iz) = \cos(z) + i\sin(z)
\)
Für die Herleitung der Beziehungen von \(\cos(z)\) und \(\sin(z)\) zu \(\exp(iz)\) und \(\exp(-iz)\) kann man die folgenden Umformungen verwenden:
1.
Für \(\cos(z)\)
Von der Euler'schen Formel wissen wir, dass \(\exp(iz) = \cos(z) + i\sin(z)\) und \(\exp(-iz) = \cos(-z) + i\sin(-z) = \cos(z) - i\sin(z)\), da \(\cos\) eine gerade Funktion (\(\cos(-z) = \cos(z)\)) und \(\sin\) eine ungerade Funktion (\(\sin(-z) = -\sin(z)\)) ist.
Addiert man \(\exp(iz)\) und \(\exp(-iz)\), erhält man:
\(
\exp(iz) + \exp(-iz) = (\cos(z) + i\sin(z)) + (\cos(z) - i\sin(z)) = 2\cos(z)
\)
Daraus folgt für \(\cos(z)\):
\(
\cos(z) = \frac{1}{2}(\exp(iz) + \exp(-iz))
\)
2.
Korrektur des Fehlers in der Abkürzung
Deine Abkürzungsversuche für \((iz)^n\) und \((-iz)^n\) sind nicht korrekt:
- Für \((iz)^n\), die Potenz ist direkt korrekt und sollte nicht weiter "abgekürzt" werden als \((-z^2)^{\frac{n}{2}}\), vor allem nicht für ungerade \(n\), da dies die Bedeutung wechselt.
- Ebenso ist \((-iz)^n\) in seiner originalen Form korrekt.
Die richtige Überlegung wäre, in der Reihe für \(\exp(iz)\) und \(\exp(-iz)\) zu bleiben und diese im Kontext der Taylor-Entwicklungen zu sehen.
Taylor-Reihen für exp(iz) und cos(z)
Die Taylor-Reihe von \(\exp(iz)\) an der Stelle 0 ist:
\(
\exp(iz) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iz)^n}{n!}
\)
Für \(\cos(z)\) lautet die Taylor-Reihe:
\(
\cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{z^{2n}}{(2n)!}
\)
Diese beiden Reihen können verwendet werden, um deine Gleichung herzuleiten, ohne dass eine fehlerbehaftete "Abkürzung" notwendig ist.
Schlussfolgerung
Es ist wichtig, dass du bei der Herleitung mit den Eigenschaften von Taylor-Reihen und der Euler'schen Formel korrekt arbeitest. Eine "Abkürzung", wie du sie für \((iz)^n\) oder \((-iz)^n\) vorgeschlagen hast, ist nicht nur unnötig, sondern auch irreführend, da sie die Genauigkeit der mathematischen Beziehung zwischen \(\exp\), \(\cos\), und \(\sin\) verwischt. Die richtige Weg, um diese Beziehungen herzustellen, ist die Anwendung der Euler'schen Formel und die Betrachtung der entsprechenden Taylor-Reihen.
