Exponentialabbildung. Exp(A+B) , exp(A), exp(B) berechnen

Question

Hallo :)

ich habe für exp(A+B) : charakteristisches Polynom 1 raus. Was sind da dann die Nullstellen ? bzw. wie gehe ich weiter vor?

Comments

Tipp:

A und B sind nilpotente Matrizen, für (A+B)^n lässt sich eine Gesetzmäßigkeit erkennen.

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exp(A+B) habe ich für charakteristisches Polynom : (x-i) (x+i) raus. 

Stimmt das ?

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Das charackteristische Polynom von A+B=((0,1),(1,0))

lautet x^2-1=(x-1)*(x+1)

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Aso, oh Dankeschön !
Ev von x=1 ist (1,-1) und für x2= -1 ist Ev = (-1,1) Stimmts ?

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Ich korrigiere . EV für x=-1 ist (1,1) stimmts?

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Für x=1 lautet der Eigevektor (x₁,x₁), für x=-1 bekommt man (x₁,-x₁), x₁ ∈ℝ

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Für die Aufgabe, reicht aber doch ein ein Eigenvektor zu finden oder? und das wäre ja für x=1 -> (1,1) und für x=-1 -> (1,-1).

oder muss man es allgemein betrachten ?

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Einer reicht aus, aber ich bestimme meistens gleich den Eigenraum mit, den Faktor x₁ kannst du ja rausziehen :)

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Eine Überprüfung bitte: 

ich habe exp(A+B) = (((e^1+e)/2) ,(- e^1+e)/2) , ( e^1+e)/2), (- e^1+e)/2)) raus.

Stimmt das ?

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nächste Aufgabe ist exp(A)exp(B) was ist denn hier exp(A) ? das ist doch exp(xA) oder? und was heißt das ? (1,1,0,1 ? 

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oder ist einfach exp(A) = (0,e,0,0) ?

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So, hab jetzt auch mal e^{A+B} ausgerechnet, ich komme auf

1/2*(((e¹+e)) ,(- e¹+e)) , ( -e¹+e)), (+ e¹+e)))

So bei exp(A) musst du als Matrix A=((0,1),(0,0)) annehmen wie es oben in der Aufgabe steht. Mein Tipp war ja A^2 auszurechne. A^2=0

Daher kannst du e^{A}=A^0+A+A^2/2+....=A^0+A  nutzen

Für B geht das auf die selbe Weise.

Kontrollergebnisse:

e^{A}=((1,1),(0,1))

e^{B}=((1,0),(1,1))

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wie hast du bei den Eigenvektoren für x=1 -> ( 1, 1) rausbekommen ? Ich habe da (1,-1).

Meine Matrix lautet ( 1,1,1,1) für x=1 -> x1=-2 . 

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Um den Eigenvektor zu bekommen musst du das Gleichungssystem [(A+B)-x*E_n]*(x₁,x₂)^T=0 lösen

hier ergibt sich ((-1,1),(1,-1))*(x₁,x₂)^T=0

also die Gleichungen 

-x₁+x₂=0

x₁-x₂=0

Beide Gleichungen sind identisch und ergeben x₁=x₂. Also wäre ein möglicher Eigenvektor (1,1)

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Ich verstehe dein Rechenschritt, so habe ich es natürlich auch. 

Ich habe det(x*E-A) gemacht, also andersrum. Trotzdem sollten doch die selben Eigenvektoren für den selben Eigenwerte ergeben oder nicht ? 

Ich habe : Charakteristisches Polynom : {(x,1),(1,x)} -> x^2-1 

Eigenwerte 1 und -1. Ich setze 1 in die Matrix ein -> {(1,1),(1,1}. deswegen bin ich auf den Eigenvektor (1,-1)  für den Eigenwert x = 1 gekommen.

Oder muss ich es wie bei dir machen? Also det(A-xE) ? Wie gesagt, dürfte aber doch keinen Unterschied machen oder? 

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(x*E-A)*(x₁,x₂)=0 für die Bestimmung der Eigenvektoren geht auch, aber jetzt nimmst du ja Minus A, daher werden die Einträge in der unteren linken und oberen rechten Ecke -1.

(x*E-A)=((1,-1),(-1,1))

Das sich ergebende Gleichungssystem ist dasselbe, somit auch der selbe Eigenvektor.

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AAAH ! Da lag mein Fehler. Danke !

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Was ist dein T^-1 ? 

Meins ist {(-1/2,-1/2),(-1/2,1/2)}

weil ich nicht die gleiche Matrix wie du raus habe. 

Ich habe : 

1/2{(-e-e^-1,-e+e^-1),(-e-e^-1,-e-e^-1)}

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Die Lösung von exp(A) und exp(B) steht schon unten ;), I ist die Einheitsmatrix

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Danke ! 

noch eben kurz zur exp(A+B) -> s. meine vorherige Beitrag

und mein D = (1,0) (0,-1)

hast du es denn auch so ? denn beim Multiplizieren habe ich nicht den selben Matrix wie du.

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T=((1,-1),(1,1))

und T^{-1}=1/2*((1,1),(-1,1))

du kannst auch die Eigenvektoren in T vertauschen, dann ergibt sich

T₂=((-1,1),(1,1))

T₂^{-1}=1/2*((-1,1),(1,1))

da sollten auch die Unterschiede im Endergebnis herkommen. Dein D stimmt.

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Jap ! Die Ergebnisse stimmen jetzt. Unsere Vektoren sind nur vertauscht.

Vielen Dank für deine Hilfe! 

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Kann jemand bei dem zweiten Teil dieser Aufgabe helfen ? ich weiss nicht wie man diese Exponentialabbleitungen bestimmt.

Answer 1

Hi,

es gilt $$ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} $$ weil \( A^2 = B^2 = 0 \) gilt, folgt

$$ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} = I + A $$ und

$$ e^B = \sum_{k=0}^\infty \frac{B^k}{k!} = I + B $$

Für \( C = A+B \) gilt $$ C^{2k} = I $$ also auch \( C^{2k+1} = C \) Damit gilt

$$ e^{A+ B} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(A+B)^k}{k!} = I \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k)!} + C \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)!} = I \cosh(1) + C \sinh(1) =   \begin{pmatrix}  \cosh(1) & \sinh(1) \\ \sinh(1) & \cosh(1) \end{pmatrix} $$

Es gilt $$  e^A \cdot e^B = (I+A) \cdot (I + B) = I +A+B+A \cdot B  $$

Comments

Vielen Danke !

was ist I ?

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Hi \( I \) ist die Einheitsmatrix

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Kann noch mal jemand den ersten Teil ordentlich aufschreiben.Ich kann es grade nicht nachvollziehen..

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Was genau meinst damit?

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Die erste Exponentialabbildung.

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Du musst Dich schon deutlicher äußern. Ich bin doch kein Hellseher. Ich habe \( e^A \), \( e^B\) und \( e^{A+B} \) vorgerechnet sowie \( e^A \cdot e^B \). Wo also ist Dein Problem? Das ist doch die ganze Aufgabe!