Wie berechnet man exp(A+B) A und B sind Matrizen

Question

Hallo wie kann man für die folgenden zwei Matrizen

A = ( 0 , 1 / 0 , 0 ) und B = ( 0 , 0 / 1 , 0)

exp(A+B) berechnen ?

Answer 1

A+B=C=((0,1),(1,0))

Nutze die Formel

e^{C}=U*e^{D}*U^{-1}, wobei D die zu C gehörige Diagonalmatrix ist

Die Matrix D bekommst du mithilfe der Eigenwerte, U mithilfe der Eigenvektoren von C.

D=((-1,0),(0,1))

U=(-1,1),(1,1)

U^{-1}=1/2*(-1,1),(1,1)

e^D ist einfach zu berechnen, es gilt

exp(diag(λ₁,......,λ_n))=diag(e^λ₁,......,e^λ_n)

---> e^{C}=e^{A+B}=U*e^{D}*U^{-1}=(([1+e^2]/[2e],[-1+e^2]/[2e]),([-1+e^2]/[2e],[1+e^2]/[2e]))