Gleicheit zweier Integrale

Question

ich möchte gern beweisen , dass folgende zwei Integrale gleich sind. Mir gelingt es nur nicht. Ich möchte also gern zeigen, dass

\(\frac{1}{\sqrt{t}}(1-a^2)e^{\frac{x^2}{2t}}\int_{-\infty}^{\frac{x}{\sqrt{t}}}e^{-\frac{u^2}{2}}du = (1-a^2) \int_0^{\infty} e^{ux-\frac{u^2 t}{2}}du\)

für \(x \in \mathbb{R}\) und \(t>0\)

Answer 1

Hallo,

ich transformiere das mal von links nach rechts: Der Schlüssel ist die Umformung des Exponenten:

$$ux-0.5tu^2=-0.5t(u-\frac{1}{t}x)^2+\frac{1}{2t}x^2$$

Dann transformieren wir das Integral auf die neue Variable:

$$w:=\sqrt{t}(u-\frac{1}{t}x) \Rightarrow u=\frac{1}{\sqrt{t}}w+\frac{1}{t}x \text{   mit } du \rightarrow \frac{1}{\sqrt{t}}dw$$

Wenn Du die Transformation durchführst - am Ende noch ein w durch -w ersetzt - erhältst Du die linke Seite.

Gruß